Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Capítulo 2 El método de elementos finitos
Funciones de prueba por tramos
por A. Brewer
2.1. Introducción
El método de Galerkin es una poderosa herramienta para proponer soluciones aproximadas a
problemas de contorno, pero presenta una seria limitación: el método no establece un procedimiento
sistemático para la construcción de las funciones de prueba φ j necesarias para determinar la forma
de las aproximaciones û. Salvo los requerimientos de independencia, continuidad y derivabilidad,
estas funciones son arbitrarias por lo que el analista debe enfrentar el problema de elegir entre
distintas posibilidades alguna de las cuales pueden resultar no tan claras. Lo que si está claro es
que la calidad de la solución dependerá fuertemente de las propiedades de las funciones elegidas.
La situación empeora en problemas de dos (2D) y tres dimensiones (3D) en los que las φ j deben
diseñarse para satisfacer las condiciones de borde en contornos que pueden presentar geometrías
complicadas. Por otro lado, una mala elección de las funciones φ j puede producir matrices K mal
condicionadas que hagan dificil o imposible la solución del problema Ku = f dentro de los límites
de la precisión esperada.
La alternativa es dividir el dominio Ω en subdominios o elementos Ω e no superpuestos y
entonces construir una aproximación û por tramos sobre cada subdominio; e inclusive, se pueden
utilizar distintas expresiones en cada uno de los subdominios en que se ha particionado Ω. En
este caso, las integrales definidas sobre todo el dominio pueden obtenerse como la suma de las
contribuciones de cada uno de los elementos
asumiendo, claro está, que
∫
∫
Ω
Γ
W i R Ω _dΩ =
__
W i R Γ _dΓ =
E∑
Ω e = Ω,
e=1
E∑
∫
e=1
E∑
e=1
Ω e W i R Ω _dΩ (2.1)
∫Γ e __
W i R Γ _dΓ (2.2)
E∑
Γ e = Γ (2.3)
En estas expresiones E representa el número de subdivisiones de la región Ω y Γ e la parte del
contorno de Ω e que se solapa con Γ. De esta manera, pueden modelarse dominios cuyos contornos
sean más o menos complicados.
La definición de funciones de prueba por tramos puede significar la aparición de discontinuidades
en la función o sus derivadas. Algún grado de discontinuidad puede ser admitido, pero esto
condicionará el tipo de formulación utilizada.
Por último notemos que si la evaluación de las integrales en las ec.(2.1) y (2.2) se realiza
sobre los subdominios resultará muy ventajoso definir las funciones de forma utilizando un soporte
compacto de tal modo que su valor sea nulo en todas partes a excepción del elemento en cuestión
y de los adyacentes al mismo.
e=1
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