Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

N∑
[
]
ρu dϕI (x)
− Γ d2 ϕ I (x)
φ I − q = r(x) (4.7)
dx dx 2
I=0
La última expresión es el “residuo” (r(x)), y es lo que el método numérico intentará minimizar
para obtener una solución aproximada del problema. Por otro lado no deben olvidarse las condiciones
de contorno, que pueden escribirse
I=0
¯φ −
N∑
ϕ I (x)| x=L
φ I = s 0 (4.8)
I=0
N∑
[
]
¯σ − ρuϕ I (x) − Γ dϕI (x)
dx
x=L
φ I = s L (4.9)
Definido entonces el residuo, el objetivo de máxima sería lograr que dicho residuo se anulara
en todo punto, esto normalmente no es posible, y lo que se busca es anularlo en promedio, es decir
en forma integral. El método de residuos ponderados propone definir una función de ponderación
w (x)
N∑
w (x) = W I (x) β I
I=0
donde W I (x) son funciones elegidas adecuadamente y β I son parámetros arbitrarios. Definida esta
función se propone que ∫
r(x)w(x)dx + s 0 w 0 + s L w L = 0 (4.10)
L
para todo valor de los parámetro β I . Como se ve en la definición de la función de peso, la cantidad de
parámetros arbitrarios es igual al número de incógnitas del problema φ I . Entre las aproximaciones
habituales se exige que la aproximación a φ satisfaga en forma exacta las condiciones de borde
sobre la propia variable (condiciones esenciales), en nuestro caso eso significa que la aproximación
satisfaga exactamente la primera condición de contorno, lo que conduce a que
Luego nuestra aproximación se puede escribir
φ 1 = ¯φ
s 0 = 0
φ(x) = ϕ 0 (x) ¯φ +
N∑
ϕ I (x) φ I (4.11)
donde hemos separado el primer término de la sumatoria que ahora es conocido. Este primer
término se conoce como solución particular y satisface en forma exacta las condiciones de contorno
esenciales, el resto de la aproximación satisface las mismas condiciones de contorno pero en forma
homogénea. Simétricamente en la función de ponderación se elimina el primer sumando para
mantener igual la cantidad de incógnitas φ I y la cantidad de parámetros arbitrarios β I .
Reemplazando entonces la aproximación a φ y la función de ponderación en la integral ponderada,
tenemos
N∑
{∫
}
β J W J r(x)dx + WL J s L = 0
J=1
L
{
N∑ ∫ [
∑ N (
) ] }
β J W J ρu dϕI (x)
− Γ d2 ϕ I (x)
φ I − q dx + W J
J=1 L
dx dx 2 L s L = 0
I=0
Lo que se pide es que lo encerrado entre llaves sea cero, es decir que independientemente del valor
de los parámetros arbitrarios β I , se satisfaga la igualdad. Esto implica entonces N condiciones
I=1
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