Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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Siguiendo ahora un orden creciente para j primero (bucle externo de 1 a n) y para i después (interno de j a n) podemos ir evaluando cada término de la factorización. Es decir para la primera columna j = 1 d 11 = k 11 l i1 = k i1 /d 11 para cada columna posterior j se conocen entonces todos los valores de d kk y l ik de las columnas anteriores (k < j). Podemos escribir [ ] l ij = 1 j−1 ∑ k ij − g ik l jk d jj pero todavía no conocemos d jj por ello en vez de calcular l ij evaluemos primero para i de 1 a j − 1 [ ] j−1 ∑ g ij = l ij d jj = k ij − g ik l jk (1) y una vez obtenidos los valores de la columna completa podemos ahora calcular k=1 k=1 j−1 ∑ d jj = k jj − g jk l jk l ij = g ij /d jj y pasar a la siguiente columna hasta completar el cálculo de todos los coeficientes. Resulta muy importante notar en este algoritmo que en (1) g ij será nulo si inicialmente k ij y todos los términos previos de la fila k = 1, j − 1 son nulos, es decir que la matriz K y L tendrán el mismo perfil. Además una vez calculado el valor de l ij no resulta ya necesario mantener el correspondiente valor de k ij y por lo tanto puede utilizarse las posiciones de memoria de K para guardar los de L. Finalmente los coeficientes de la matriz diagonal D pueden guardarse en las posiciones diagonales de K ya que los elementos diagonales de L valen 1 y no requieren ser recordados. 2-Substitución hacia adelante para i de 1 a n k=1 ∑i−1 y i = f i − l ik y k 3-Substitución hacia atrás para i de n a 1 k=1 [ ] x i = 1 ∑i+1 y i − l ki x k d ii Una descripción más detallada de la base teórica del presente algoritmo y su programación en códigos de elementos finitos puede verse en las referencias k=n K.J.Bathe y E.L.Wilson, Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1976. T.R.Chandrupatla y A.D.Belegundu, Introduction to finite element in engineering, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, 1991. El presente algoritmo no está condicionado a que la matriz sea definida positiva y sólo requiere que sea no-singular. También puede adaptarse a matrices no simétrica sin ninguna dificultad. 136
7.5. Suavizado de Variables En el método de elementos finitos se asegura continuidad de las variables principales del problema (los desplazamientos en un problema de elasticidad), pero en general las variables derivadas resultan discontinuas entre elementos. Resulta necesario, a los fines de visualizar las variables o estimar errores de la solución, un valor único y continuo de las variables derivadas de la misma forma que uno conoce las variables principales. El flujo σ en los nodos puede calcularse directamente de la relación σ ( x I) = σ I = DB ( x I) u e sin embargo es más común su evaluación a partir de extrapolaciones desde los puntos de integración debido a que son los puntos óptimos (en el sentido de que tienen el menor error) de evaluación de las variables derivadas. Sean σ G los valores de las variables que interesa suavizar evaluadas en los puntos de integración. Sea ˜σ (ξ) con valores dentro de cada elemento, las variables extrapoladas a partir de los valores σ G ∑NG ˜σ (ξ) = Φ G (ξ) σ G G=1 donde NG es el número de puntos de integración en el elemento y las Φ G son funciones de forma definidas similarmente a las funciones nodales pero ahora con la condición: Φ ( G ξ A) { 1 si A = G = 0 si A ≠ G con A un punto de integración. Interesa obtener las variables derivadas en los nudos en función de las variables en los puntos de integración. Denominaremos con σ I a las variables suavizadas, (incógnitas por ahora) en los nudos. Dentro de un elemento cualquiera, el valor de estas variables se puede interpolar en la forma: ˆσ (ξ) = NN∑ G=1 N I (ξ) σ I donde NN es el número de nudos del elemento y las N I son las tí picos funciones de interpolación nodales. Debemos ahora fijar algún criterio que nos permita obtener las σ I a partir de las σ G . Dicho criterio puede ser que resulte mínima la integral del cuadrado de la diferencia entre las variables interpoladas a partir de los valores nodales y a partir de los valores en los puntos de integración, es decir minimizar: R = 1 ∫ (ˆσ − ˜σ) 2 dV 2 R = 1 2 V ∑NE ∫ E=1 V E [ NN∑ I=1 ] NG 2 ∑ N I σ I − Φ G σ G dV E donde NE es el número de elementos en la discretización. La condición de mínimo es: G=1 ∂R ∂σ = 0 = ∑NE ∫ [ NN∑ ] ∑NG N I N J σ J − Φ G σ I G dV E E=1 V E I=1 G=1 137
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