Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Figura 1
Conducción del calor en 2 dimensiones
dividiendo por el área (volumen) A ω de ω y tomando límite para A ω que tiende a 0, se obtiene
(usando el teorema del valor medio del cálculo integral) la fórmula de la divergencia del campo
vectorial σ en el punto x = (x 1 , x 2 )
div (σ) = ∂σ 1
∂x 1
+ ∂σ 2
∂x 2
= ∇ · σ
como la densidad de flujo neto en el punto. El flujo total Σ Ω a través del contorno de Ω se puede
escribir
∫
∫
Σ Ω = ∇ · σ dΩ = σ · n ds
Ω
En el caso general del teorema de la divergencia σ puede ser tanto un campo vectorial (tensor
de 1er. orden) como un campo tensorial (2do. orden), en el segundo caso Σ es un vector.
Los problemas físicos que nos interesa resolver están gobernados por relaciones “constitutivas”
(en el sentido de que dependen del material que “constituye” el dominio) lineales de la forma
σ (x) = −k (x) ∇u (x) k > 0 ∀x
] [ ] [ ] [ ]
u′ 1 k11 k
= −k = −
12 u′ 1
σ 2 k 21 k 22
[
σ1
u′ 2
En la segunda expresión se ha generalizado la ley constitutiva al escribir el escalar k (conductividad
o permeabilidad térmica) como un tensor de segundo orden k. Esto permitiría tratar medios
que tuvieran diferentes conductividades en diferentes direcciones del espacio. El caso isótropo se
recupera escribiendo
[ 1 0
k = k
0 1
]
=
∂Ω
[ k 0
0 k
El principio de conservación (o ley de balance) establece que dentro de cualquier porción del
dominio, el flujo neto a través del contorno de dicho subdominio debe ser igual a la cantidad
producida por las fuentes internas. Si f denota la fuente por unidad de área (volumen) tenemos
∫
∫
σ · n d∂ω = f dω
usando el teorema de la divergencia
En consecuencia la ley local de balance resulta
∂ω
∫
ω
ω
(∇ · σ−f) dω = 0
]
u′ 2
84
∇ · σ (x) = f (x)