Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

v (ξ) = φ 1 (ξ) v 1 + ϕ 1 (ξ) θ 1 + φ 2 (ξ) v 2 + ϕ 2 (ξ) θ 2 61
4.3. Problemas de cuarto orden
Son problemas menos comunes pero muy importantes, surgen (entre otras posibilidades) al
considerar teorías clásicas de vigas y placas (y/o láminas). Recordemos por ejemplo la ecuación
diferencial que gobierna el comportamiento de una viga continua en flexión
dQ
dx + p (x) = 0
dM
dx + Q = 0
( )
M = EIχ = EI d2 u
d 2
EI d2 u
= p (x)
dx 2 dx 2 dx 2
usando el método de residuos ponderados (con v la función de ponderación) e integrando dos veces
por partes resulta la siguiente formulación débil:
∫ [ ( ) ]
d
2
∫ [ ]
EI d2 u
d 2 v
− p (x) dx =
dx 2 dx 2 dx EI d2 u
2 Dx − v p (x) dx+
2
v
L
L
+ v d ( )] L
EI d2 u
dx dx 2 0
− dv
dx EI d2 u
dx 2 ] L
0
donde podemos reconocer en los términos evaluados en los extremos al momento flector y al esfuerzo
de corte:
EI d2 u
dx = M y − d ( )
EI d2 u
= − dM
2 dx dx 2 dx = Q
Luego la expresión del residuo puede escribirse como
∫ [ ]
d 2 ∫
v
dx EI d2 u
dx = v p (x) dx + vQ] L 2 Dx 2 0 + dv ] L
dx M 0
L
L
Notemos que para poder realizar la integral del primer miembro es necesario que u ′′ (y v ′′ )
exista, es decir que u ′ (y v ′ ) debe ser por lo menos continua. Este tipo de problemas donde la
formulación requiere que las derivadas primeras de la variable sean continuas en todo el dominio
(y por lo tanto entre elementos) se denominan de continuidad C 1 . Aquellos donde sólo se requiere
que la variable sea continua se denominan de continuidad C 0 .
Las condiciones de continuidad tienen siempre una fuerte interpretación física, en este caso la
continuidad C 1 resulta de la hipótesis de conservación de las secciones planas y de que dicha sección
se mantiene normal al eje deformado. Esta hipótesis expresa el campo de desplazamientos normales
a la sección transversal de los puntos fuera del eje baricéntrico proporcionales a la distancia al
mismo y al giro de la sección. Si el giro no es continuo, los desplazamientos tampoco lo serán y se
pierde la compatibilidad.
Si utilizamos en el presente problema un elemento similar al descripto en el punto anterior,
usamos la aproximación de Galerkin para las funciones de prueba (es decir la mismas funciones
que para las variables) tendremos (que para EI constante en cada elemento):
una aproximación cúbica para u que implica aproximación cuadrática para el giro, lineal
para el momento y corte constante.
El elemento puede modelar en forma exacta una viga sin carga de tramo (ecuación homogénea).
Veamos como evaluar la matriz de rigidez del elemento de viga, sea entonces
u (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 + ϕ 1 (ξ) β 1 + φ 2 (ξ) u 2 + ϕ 2 (ξ) β 2
donde hemos denominado β = du/dx al giro de la sección. Similarmente la función de prueba será
= 0