Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

More documents

Recommendations

Info

a) se empieza por la definición de puntos, b) se sigue con la definición de líneas y/o curvas para lo cual se utilizan como referencia los puntos previos c) luego se definen planos y/o superficies cuyos contornos son las líneas o curvas definidas previamente d) finalmente se definen volúmenes delimitados por las superficies hasta entonces descriptas. 2. Para la imposición de condiciones de contorno, sean esenciales o naturales, se definen puntos, líneas o superficies donde se vayan a imponer tales condiciones. También aquí es necesario considerar como cada parte se va a unir con otras partes del modelo global, para satisfacer condiciones de compatibilidad. 3. Se elige un tipo de elemento finito adecuado (Por ejemplo en problemas 2-D, pueden ser triángulos o cuadriláteros, lineales, cuadráticos, etc.) 4. Se indica el tamaño de los elementos que se quiere utilizar. Este tamaño puede ser uniforme o no, en general deben usarse elementos más pequeños donde se esperan mayores gradientes, y pueden usarse discretizaciones más gruesas donde los gradientes son menores. Esto por supuesto requiere por parte del usuario un criterio basado en el conocimiento ‘a priori’ del comportamiento de lo que se quiere modelar, de forma que pueda indicar en los distintos puntos valores razonables para el tamaño de los elementos 5. Finalmente el generador de malla en función del tipo de elemento y la definición del tamaño de los elementos procede a discretizar el dominio. Los procesos de mallado siguen la misma secuencia de la definición geométrica, empiezan discretizando las curvas (respetando la posición de los puntos específicamente descriptos), luego discretizan las superficies (para lo cual ya disponen de las discretizaciones de sus contornos) y finalmente discretizan los volúmenes encerrados por las superficies. El traspaso de los datos del mallador al PEF implica básicamente tres aspectos asociados a la topología de la malla y las condiciones de contorno: 128 las coordenadas de cada nudo necesario para la definición del modelo, a cada nudo debe asignársele una etiqueta (un número) las conectividades de los elementos, es decir cuales son los nudos (sus etiquetas o números) que definen cada elemento (el que a su vez también se etiqueta). El orden en que dan estos nudos es importante, cada tipo de elemento requiere un orden especial. Por ejemplo si se trata de un cuadrilátero, si tiene 4 nudos (sus vértices), estos deben darse siguiendo el perímetro del mismo en sentido antihorario. No tiene habitualmente importancia con cual se empieza , pero sí su orden. Si el elemento fuese un cuadrilátero de 8 nudos (vértices y nudos sobre los lados), hay distintas posibilidades (lo cual está definido en el manual de usuario y debe consultarse este), podría ser que se dieran los 8 nudos en sentido antihorario en la forma que aparecen empezando por un vértice, o podría ser que primero deban entrarse los vértices y luego los medios (empezando por el que está entre los primeros dos vértices) los puntos sobre los que se han impuesto condiciones de contorno esenciales (desplazamientos o velocidades en problemas de mecánica de sólidos) indicando las condiciones asociadas. Los puntos, líneas o superficies con condiciones naturales (fuerzas puntuales, de línea o presiones respectivamente, en problemas de mecánica de sólidos)
7.2. Imposición de restricciones nodales En esta sección intentaremos mostrar como imponer condiciones de borde esenciales de una cierta generalidad. Si bien hablamos de “condiciones de contorno” las técnicas que se describen corresponden al tratamiento de restricciones cinemáticas que pueden tener interpretaciones más generales, y permiten imponer hasta hipótesis de comportamiento en el modelo. Supondremos que esta condición puede escribirse de la siguiente forma: u k = ū k + ∑ i≠k a i u i (7.1) esta expresión dice que un grado de libertad genérico u k puede escribirse como una constante ū k más una combinación lineal de otros grados de libertad (donde por supuesto no aparece el grado de libertad u k ) a través de coeficientes a i (que eventualmente pueden ser 0 la mayoría o todos ellos). Este tipo de restricción puede representar muchos casos prácticos entre ellos: Desplazamiento prescripto de valor ū k (a i = 0 en tal caso) Apoyos que no coinciden con las direcciones del sistema global de coordenadas. Nudos maestros Modelado de dominios con simetría cíclica. Unión de elementos finitos con distintos grados de interpolación en el contorno o con diferentes grados de libertad. Articulaciones en pórticos Rigidizadores de láminas En la expresión que define la restricción (7.1) si introducimos un coeficiente a k = −1 la podemos escribir ū k + ∑ a i u i = ū k + a · u = 0 (7.2) Existen diferentes formas de imponer este tipo de restricciones en el sistema de ecuaciones, con diferentes ventajas y desventajas. Notemos antes que no es posible simplemente adicionar al sistema de ecuaciones existente esta nueva ecuación pues tendríamos más ecuaciones que incógnitas. 7.2.1. Imposición exacta de la condición Dado que u k no resulta independiente el problema puede verse como de orden n−1. De acuerdo a la formulación utilizada para obtener nuestro sistema de ecuaciones podemos suponer que la función de ponderación asociada, o el desplazamiento virtual, o la variación de desplazamiento tiene la misma dependencia, es decir v k = ∑ i≠k a iv i δu k = ∑ i≠k a iδu i a · v = 0 a · δu = 0 El sistema de ecuaciones de que disponemos puede escribirse v T K u − v T f = 0 en forma desarrollada ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ k 11 ... k 1k ... k 1n u 1 ⎪⎨ : : : [v 1 , ..., v k , ...v n ] ⎢ k k1 ... k kk ... k kn ⎥ ⎢ u k ⎥ ⎣ : : ⎦ ⎣ : ⎦ − ⎢ ⎣ ⎪⎩ k n1 ... k nk ... k nn u n ⎤ f 1 : f k ⎥ : ⎦ f n ⎫ ⎪⎬ = 0 ⎪⎭ 129
Page 1 and 2:
Capítulo 1 Métodos de residuos po
Page 3 and 4:
( ∂ k ∂u ) + ∂ ( k ∂u ) + F
Page 5 and 6:
δ (x − x l ) = 0 para x ≠ x l
Page 7 and 8:
p = F (1.29) en la que k y F no dep
Page 9 and 10:
La solución de los sistemas conduc
Page 11 and 12:
Una viga de longitud 1 está simple
Page 13 and 14:
Notar que K es no simétrica aun cu
Page 15 and 16:
integrando por partes el primer té
Page 17 and 18:
La sustitución de la aproximación
Page 19 and 20:
Figura 2 Ejercicio 21. a) Problema
Page 21 and 22:
Capítulo 2 El método de elementos
Page 23 and 24:
Figura 1 Aproximación de una funci
Page 25 and 26:
Figura 2 Comportamiento de tres fun
Page 27 and 28:
2.4.1. Propiedades de la matriz K y
Page 29 and 30:
Figura 5 Descripción local y globa
Page 31 and 32:
2.4.3.2. Cálculo del vector de car
Page 33 and 34:
de funciones. Una medida universalm
Page 35:
Figura 6 Curvas del error utilizand
Page 38 and 39:
eferiremos como ” ley de conserva
Page 40 and 41:
ambos miembros haciendo tender el p
Page 42 and 43:
1. Condiciones de borde esenciales,
Page 44 and 45:
2. Las condiciones de borde no pued
Page 46 and 47:
de tal modo que todo punto x en el
Page 48 and 49:
N 1 (ξ) = (ξ − ξ 2) (ξ 1 −
Page 50 and 51:
modo de ubicar un nodo en todo punt
Page 52 and 53:
Figura 5 Malla de N nudos y N-1 ele
Page 54 and 55:
3. Condiciones naturales de Neumann
Page 56 and 57:
(c) Considere las condiciones (ii)
Page 58 and 59:
los polinomios de interpolación in
Page 60 and 61:
La derivada segunda de u respecto a
Page 62 and 63:
4.3.3. Formulación a partir del Pr
Page 64 and 65:
¯K = ∫ L 0 BT D B d¯x 1 = ¯K =
Page 66 and 67:
Las cargas normales al eje de la vi
Page 68 and 69:
2. θ 1 (ξ) = ∑ 2 I=1 N I (ξ)
Page 70 and 71:
4.5.7. Cambio de base La expresión
Page 72 and 73:
Figura 5 Viga con deformación de c
Page 74 and 75:
4.6.1. Matriz de rigidez de una vig
Page 76 and 77:
Donde las funciones de forma son: N
Page 78 and 79:
(una para cada W J ) en función de
Page 80 and 81:
Ejercicio 1-Sea el problema de conv
Page 82 and 83:
o directamente las coordenadas noda
Page 84 and 85: donde r es el residuo que se quiere
Page 86: ⎡ K 3−4 = ⎢ ⎣ K 4−5 = ⎡
Page 89 and 90: Figura 1 Conducción del calor en 2
Page 91 and 92: 5.3. Forma variacional del problema
Page 93 and 94: 5.5. Flujo en un medio poroso El fl
Page 95 and 96: ortotropía coinciden con las direc
Page 97 and 98: 5.6.5. Forma débil de la ecuación
Page 99 and 100: Como φ es conocida sobre el contor
Page 101 and 102: La formulación débil que resulta
Page 103 and 104: 5.9.2. Formulación débil usando r
Page 105 and 106: ⎡ σ = ⎢ ⎣ ⎤ σ 11 σ 22 σ
Page 107 and 108: Figura 7 Teoría de placas clásica
Page 109 and 110: Los esfuerzos de corte transversal
Page 111 and 112: Capítulo 6 Elementos finitos en do
Page 113 and 114: el punto p (ξ, η), y calculamos s
Page 115 and 116: Para el caso cuadrático (ξ, η) =
Page 117 and 118: ∂u ∂x 2 = NN∑ I=1 [ ∂N I
Page 119 and 120: Figura 5 Mapeamientos para funcione
Page 121 and 122: Elemento (L ( 1 , L 2 , L 3 ) w l L
Page 123 and 124: ahora dependiente sólo del valor d
Page 125 and 126: ∫ v ∫ σ ij δε ij dv = v δε
Page 127 and 128: 6.8.1. Funciones de interpolación,
Page 129 and 130: Siendo todas las variables constant
Page 131 and 132: (el I por ejemplo) con dicha fuente
Page 133: Capítulo 7 Aspectos generales asoc
Page 137 and 138: entonces ¯k ij = k ij + 1 ǫ a ia
Page 139 and 140: Figura 2 viga flexible entre column
Page 141 and 142: D Matriz diagonal (definida positiv
Page 143 and 144: 7.5. Suavizado de Variables En el m
Page 145 and 146: 138
Page 147 and 148: Difícilmente se pueda encontrar un
Page 149 and 150: que para el caso de placas esbeltas
Page 151 and 152: cualquier variación de deformacion
Page 153 and 154: donde se ha introducido la matriz B
Page 155 and 156: 148
Page 157 and 158: en tanto que las velocidades (conoc
Page 159 and 160: Interfaz 1 ξ en [ 1, 0] η en [ 1,
Page 161 and 162: Parte Difusiva ⎡ 1 ⎣ 2A s 2 2
Page 163 and 164: Figura 4 Borde donde el flujo σ ν
Page 165 and 166: φ=0 grad φ=0 φ=1 simetría Figur
Page 167 and 168: 162
Page 169 and 170: de ecuaciones), de tal forma de hac
Page 171 and 172: 3 4 7 3 6 5 8 9 6 1 4 2 1 5 2 Figur
Page 173 and 174: Esto esta así pensado para que lue
Page 175 and 176: LM(ndofe) arreglo que relaciona cad
show all

Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?