Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

que permiten completar el punto de vista local del elemento. Notemos que, usando estas funciones
de interpolación, la ec. (2.36) se puede reescribir como
x(ξ) = N e 1 (ξ) x i + N e 2 (ξ) x j (2.38)
lo que muestra que la interpolación utilizada en el dominio es idéntica a la utilizada en la interpolación
de la función u.
Calculemos para uso posterior las siguientes derivadas
N e 1,ξ(ξ) = − 1 2 ; N e 2,ξ(ξ) = 1 2
(2.39)
x ,ξ (ξ) = he
2 ; ξ ,x(x) = 2 h e = [x ,ξ(ξ)] −1 (2.40)
2.4.3. Cálculo explícito de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas elementales
Antes de entrar de lleno en el cálculo recordemos algunos resultados preliminares
Fórmula para el cambio de variables:
Sea una función integrable f : [x 1 , x 2 ] → R y sea x : [ξ 1 , ξ 2 ] → [x 1 , x 2 ] una función
continuamente diferenciable con x(ξ 1 ) = x 1 y x(ξ 2 ) = x 2 . Entonces
∫ x2
∫ ξ2
f(x) dx = f(x(ξ)) x ,ξ (ξ) dξ (2.41)
x 1 ξ 1
Regla de la cadena:
Sean f y x las mismas funciones anteriores y asumamos que f es diferenciable. Entones
d
dξ f(x(ξ)) = f ,x(x(ξ)) x ,ξ (ξ) (2.42)
2.4.3.1. Cálculo de la matriz de rigidez elemental
A partir de estos resultados podemos resolver la matriz, ec. (2.29), del elemento como sigue
∫
Kij e = [N i,x (x)N j,x (x) + N i (x)N j (x)] dx
Ω e
=
∫ 1
[N i,x (x(ξ))N j,x (x(ξ)) + N i (x(ξ)) N j (x(ξ))] x ,ξ (ξ)dξ
−1
(2.43)
=
∫ 1 ∫ 1
N i,ξ (ξ) N j,ξ (ξ) [x ,ξ (ξ)] −1 dξ + N i (ξ) N j (ξ) x ,ξ (ξ) dξ
−1
−1
obtenida por un cambio de variables, con x(ξ) definida en la ec. (2.36), y el uso de la regla de la
cadena (2.42). Resolviendo estas integrales resulta la siguiente matriz elemental
30
⎡
K e = ⎢
⎣
1
h + he
e 3
− 1 h e + he
6
− 1 h e + he
6
1
h + he
e 3
⎤
⎥
⎦
(2.44)