Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Difícilmente se pueda encontrar un elemento que pueda satisfacer todas las aplicaciones posibles,
por ello algunos son adecuados para algunos modelos y otros no.
8.2. Elementos de placa basados en la teoría de Kirchhoff
Desde el punto de vista del MEF, la teoría de placas clásica, esto es sin deformaciones transversales
por corte, presenta el importante inconveniente de requerir continuidad C 1 . Por lo tanto
requiere, no sólo que los desplazamientos transversales sean continuos, sino que además deben
ser continuas sus derivadas (giros). Esto está asociado a la necesidad de mantener la continuidad
estructural pues los desplazamientos en el plano de placa fuera de la superficie media dependen de
los giros. Es decir a lo largo de una fibra normal a la placa
u (z) = β x z = − ∂w
∂x z
v (z) = β y z = − ∂w
∂y z
La continuidad C 1 aparece también en problemas de teoría clásica de vigas, sin embargo allí
debido a que las vigas dependen de una única variable espacial y la unión entre elementos se realiza
en puntos (nudos) y no a lo largo de una curva (lados), el problema es de solución sencilla. En tal
caso es posible imponer la continuidad de los giros en los nudos fácilmente, colocando precisamente
como variable nodal la derivada o giro.
En problemas de placas la continuidad C 1 implica dos cosas:
1. debe satisfacerse a lo largo de los contornos inter-elementos, es decir que deben coincidir las
interpolaciones a lo largo de una curva.
2. debe satisfacerse para ambas direcciones del plano. En el contorno esto a su vez puede
expresarse localmente exigiendo la continuidad de la derivada en la dirección al contorno y
la derivada normal al contorno.
Para que se cumpla estas condiciones es necesario que a lo largo de cualquier lado del elemento,
el desplazamiento w y sus derivadas dependan exclusivamente de los parámetros nodales asociados
a los nodos que conforman el lado. Esto trae en general consecuencias insalvables para elementos de
geometría arbitraria, en particular en lo que se refiere a la derivada normal al contorno que involucra
a la interpolación del desplazamiento en el interior del elemento, lo cual hace necesario utilizar
como incógnitas nodales las derivadas segundas (cruzadas) del desplazamiento transversal. Esto
último sólo resuelve el problema en mallas estructuradas (por ejemplo en elementos rectangulares),
pero no en elementos con geometría arbitraria.
Si bien es posible la definición de elementos de placa “conforme”, es decir que satisfagan todas
las condiciones de continuidad C 1 , esto no asegura un buen comportamiento y puede convertirlo
en un elemento oneroso desde el punto de vista computacional. Esto ha llevado a la búsqueda de
otro tipo de soluciones, entre las que se encuentran: a) las aproximaciones “mixtas”, en el sentido
de que no todas las incógnitas son desplazamientos, sino que aparecen deformaciones o tensiones
como incógnitas; b) elementos “no conformes”, que no satisfacen en forma explícita todas las
condiciones de continuidad. Por ejemplo pueden satisfacer la continuidad del desplazamiento w
(y con ello implícitamente la derivada en la dirección del contorno) pero sólo satisfacen en forma
discreta (digamos en los nudos y a la mitad del lado) la condición de continuidad de la derivada
normal al contorno. Lo importante en estos casos es mostrar que al refinar la malla las soluciones
obtenidas convergen a la solución correcta.
Un análisis detallado del problema de continuidad C 1 y de las distintas soluciones propuestas
escapa al objetivo de estas notas y puede verse en distintos textos del método, por ejemplo:
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Oñate Eugenio, Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos, CIMNE, Barcelona,
1992.