Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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u ≃ û = ψ + M∑ a m φ m (1.12) en la que û es la aproximación de u y a m (m = 1, 2, ...M) son algunos parámetros que deben calcularse de modo de lograr un buen ”ajuste”. Estas funciones de prueba se conocen también como funciones de base o de forma y deben elegirse con la condición de que a medida que se aumenta M se garantice una mejor aproximación en (1.12). Una condición para lograr esta convergencia es que las funciones utilizadas puedan representar cualquier variación de la función u en el dominio Ω, lo que conduce al concepto de completitud. 1.3.1. Aproximaciones por residuos ponderados A continuación se presenta un método general para determinar las constantes a m en las aproximaciones de la forma (1.12). Se define el error o residuo R Ω de la aproximación (1.12) como m=1 R Ω = u − û (1.13) De la definición se observa que R Ω será función de la posición en Ω. Al intentar disminuir el residuo sobre el dominio Ω, surgen expresiones integrales del error que ponderan a R Ω de distintas maneras y cuya forma general es la siguiente ∫ Ω ∫ W l (u − û) dΩ ≡ Ω W l R Ω dΩ = 0 l = 1, 2, ..., M (1.14) W l es un conjunto de funciones de peso independientes. La condición general de convergencia enunciada anteriormente, es decir, que û → u cuando M → ∞ puede ser expresada alternativamente mediante la ec. (1.14) exigiendo que la misma se satisfaga para todo l para M → ∞. Esto sólo será cierto si R Ω → 0 en todos los puntos del dominio como es lo deseable. Reemplazando la ec. (1.12) en la (1.14) resulta el siguiente sistema lineal de ecuaciones que permite determinar los parámetros a m y donde ∫ K lm = ∫ f l = Ω Ka = f (1.15) a T = (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a M ) Ω W l φ m dΩ, 1 ≤ l, m ≤ M W l (u − ψ) dΩ, 1 ≤ l ≤ M (1.16) En la práctica pueden utilizarse distintos tipos de funciones de peso y cada una dará lugar a un método de residuos ponderados en particular. A continuación se presentan algunas de las opciones más comúnmente utilizadas en el contexto de sistemas unidimensionales. 1.3.1.1. Métodos de colocación En este caso, las funciones de peso W l están dadas por W l = δ (x − x l ) (1.17) donde δ (x − x l ) es la función delta de Dirac definida por sus propiedades 4
δ (x − x l ) = 0 para x ≠ x l δ (x − x l ) = ∞ para x = x l ∫ x>xl x x l+1 por lo que las componentes de la matriz K y el vector f son 1.3.1.3. El método de Galerkin K lm = f l = ∫ xl+1 ∫ xl+1 x l φ m dx x l (u − ψ) dx (1.21) En este, el más popular de los métodos de residuos ponderados, se eligen como funciones de peso a las mismas funciones utilizadas como funciones de prueba La matriz K y el vector f tienen la siguiente forma ∫ K lm = φ l φ m dx ∫ f l = Ω W l = φ l (1.22) Ω φ l (u − ψ) dx (1.23) Se observa que una ventaja computacional de este método es que, en general, la matriz K resulta simétrica. 1.3.1.4. Otras funciones de peso Existen muchas otras posibilidades al momento de elegir funciones de peso. Citemos una de ellas (que conduce al método de los momentos) que utiliza al conjunto de funciones W l = x l−1 , l = 1, 2, .., M, que obligan a que el área bajo la curva de error y sus momentos respecto del origen sean nulos. Observemos, por último, que el método de mínimos cuadrados puede ser considerado como perteneciente al grupo de métodos basados en residuos ponderados. La aproximación estándar trata de minimizar el cuadrado de la función de error en cada punto del dominio Ω minimizando la expresión 5
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