Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

de donde
⎡
⎣
s 2 2 − s 3 2 s 3 1 − s 2 1
s 3 2 − s 1 2 s 1 1 − s 3 1
s 1 2 − s 2 2 s 2 1 − s 1 1
⎤ ⎡ ⎤
⎦ = 1 −b 1 a 1
⎣ −b 2 a 2 ⎦
2
−b 3 a 3
Lo cual, reemplazado en 9.2 muestra la simetría de la parte difusiva
Condiciones de contorno
En los triángulos que están en contacto con el contorno del dominio hay que considerar las
condiciones de contorno del problema que allí existan.
Básicamente el contorno lo podemos dividir en dos partes
S φ donde se conoce el valor de la variable φ
S σ donde el valor de la variables φ es incógnita. Esta parte puede a su vez dividirse en dos
partes
- donde se conoce el valor del flujo ¯σ ν (incluida aquella parte donde ¯σ ν = 0)
¯σ ν = [ρuφ − Γ ∇φ] · ν
- donde se conoce el valor de ∇φ · ν pero no φ misma. Habitualmente ∇φ · ν = 0 en el
“campo lejano”
En S φ se trabaja de la siguiente manera
1. No es necesario plantear el balance en dicho punto. Luego no hay ecuación de balance asociado
a los puntos donde φ es conocido.
2. Un triángulo que esté asociado con un contorno así tendrá en general tres contribuciones (a
cada uno de sus vértices) en la forma
⎡
⎣ Contr. 1
Contr. 2
Contr. 3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ C ⎤ ⎡
11 C 12 C 13
C 21 C 22 C 23
⎦ ⎣
C 31 C 32 C 33
⎤
φ 1
φ 2 ⎦
φ 3
Supongamos que φ 2 = ¯φ es conocido, entonces la segunda fila (la que contribuye alrededor
del nudo 2) no es necesaria. Las contribuciones C 12¯φ (al nudo 1) y C32¯φ (al nudo 3) al ser
valores conocidos pasan al término independiente
En S σ tenemos dos posibilidades
1. Conocemos σ ν : Interpolamos linealmente el valor de σ ν entre los nudos del lado del elemento.
Llamando (ver figura 4) |l| = |x 2 − x 1 |, la contribución a cada celda o volumen es
nudo 1 :
nudo 2 :
|l| ( 2σ
1
6 ν + σν)
2
|l| (
σ
1
6 ν + 2σν)
2
que contribuye al término independiente. El signo de σ ν depende de que el flujo conocido sea
entrante o saliente.
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