Algorithmes de la morphologie mathématique pour - Pastel - HAL

CHAPITRE 9Algorithmes et complexité9.1 Définition d’un algorithmeDans le contexte moderne, les algorithmes sont les méthodes pour la résolution des problèmes surles ordinateurs. Dans le contexte plus large que celui restreint à l’informatique, nous comprenons sous leterme algorithme une prescription qui peut avoir différentes formes (textuelle, d’une formule mathématique,d’un diagramme de séquence, d’un langage de programmation, etc.). Cette prescription décrit uneméthode de résolution d’un problème qui, après être effectuée, nous fournit la solution du problème.L’utilisation des algorithmes n’est pas un phénomène de l’époque des ordinateurs et du calcul automatique.Les algorithmes ont été connus et employés depuis bien longtemps et cette utilisation remonte,d’après Wik06a Donald Knuth, à travers l’Antiquité jusqu’au Babyloniens (1800 avant J.C). En revanche,l’origine du mot algorithme est plus récent (9ème siècle) ; il a ses racines dans la traduction latine datantdu Moyen Âge du nom de Abou Jafar Muhammad Ibn Musa al-Khuwarizmi Wik06a où son nomal-Khuwarizmi 1 était traduit en Algoritmi.Par curiosité, nous pouvons découvrir Wik06b également que le titre Al-jabr wa’l-muqabalah d’un desouvrages d’al-Khuwarizmi (publié en 825) qui signifie La transposition et la réduction est à l’origined’un autre mot que l’on utilise fréquemment de nos jours – algèbre. Plus précisément, c’est sa partieAl-jabr qui après la traduction latine puis la traduction française devint algèbre et désigne aujourd’huiune discipline de la mathématique moderne dont certaines techniques sont déjà décrites dans l’ouvrageconcerné d’al-Khuwarizmi.9.2 Complexité d’un algorithme9.2.1 Définition de la complexitéSous le terme de complexité d’un algorithme donné nous comprenons le coût de l’utilisation de cetalgorithme. Ce coût peut être exprimé dans diverses unités, par exemple, comme le temps du calcul,comme de nombre d’opérations arithmétiques, le nombre d’opérations avec la mémoire, etc.9.2.2 Les mesures de la croissanceMême si, d’un point de vue pratique, le temps du calcul est une mesure extrêmement intéressante,elle n’est pas utilisable lors de l’étude théorique de la complexité des algorithmes où nous avons besoinde comparer le fonctionnement théorique de deux algorithmes différents et nous avons besoin de rester1Appelé aussi al-Khwarizmi ou al-Khorezmi selon le nom de sa ville natale Khwarizm ou Khorezm ; à notre époque ils’agit de la ville Khiva en Ouzbékistan177