Algorithmes de la morphologie mathématique pour - Pastel - HAL

Jaromír BRAMBOR4.2. HASKELL ET LES BASES DES LANGAGES FONCTIONNELSLa deuxième opération de base du Lambda calcul est l’abstraction. Si M = M[x] est une expression quicontient x (ou autrement dit dépend de x), puis λx.M[x] désigne la fonction x ↦→ M[x]. Par exemple,λx.x ∗ x définit la puissance de 2. Dans Haskell, nous avons également la possibilité de définir unefonction par le terme λ comme :λx→x ∗xCette expression définit une nouvelle fonction sur place. Elle peut être utilisée dans les définitions desfonctions dans Haskell, comme nous pourrons le voir par la suite, par exemple, dans la définition de lafonction $, page 62.Une des spécialités du Lambda calcul est la façon d’exprimer les fonctions de plusieurs argumentspar itération de l’application 1 et nous parlons ainsi d’une succession des applications partielles Wik06c .Ainsi, si f(x, y) dépend de deux arguments x et y, nous pouvons définir dans le Lambda calcul F x =λy.f(x, y) qui ne dépend que de y et F = λx.F x qui ne dépend que de x et nous obtenons par conséquent(F x)y = F x y = f(x, y). Haskell suit cette logique et les fonctions de plusieurs arguments sont définiesexactement de cette manière même si la syntaxe du Haskell le cache quelquefois. Par exemple HPF99 , lafonction add d’addition de deux arguments est définie dans Haskell comme :add (x ,y) = x+yce qui est un exemple d’une définition uncurried. Cette définition est équivalente à une définition curried :add x y = x+yqui correspond àadd = λ x y → x+yce qui est une notation propre à Haskell mais qui n’exprime rien d’autre queadd = λ x → λy → x+yLa dernière définition correspond dans la notation du Lambda calcul à l’expression λx.λy.x + y qui peutêtre récrite comme λx.(λy.x + y) = λx.F x en utilisant les fonctions partielles comme décrit auparavant.Les fonctions standards curry et uncurry du Haskell sont dédiées à ce travail.Avant de passer à nos propres définitions et expressions dans Haskell, nous voudrions introduirecertaines notions de base pour que le lecteur non familier avec Haskell ou avec d’autres langages fonctionnelspuisse poursuivre notre raisonnement et comprendre la syntaxe et la façon de construire lesalgorithmes décrits par la suite. Pour plus d’informations, nous orientons le lecteur vers une brèveintroduction du Haskell98 HPF99 .La fonction de l’identité polymorphe id est un exemple trivial d’une fonction définie par Haskell.Elle va nous servir pour expliquer la syntaxe de ce langage :id :: α → αid x = xLa première ligne définit, par le symbole ::, la signature du type de la fonction id pour ses paramètres etla valeur de retour. Nous lisons la définition de gauche à droite, dans le sens des flèches. Dans ce cas,il s’agit d’une fonction qui prend un paramètre d’un type polymorphe α, et transforme sa valeur en uneautre valeur du même type α.La deuxième ligne définit, en utilisant le symbole =, le corps de la fonction. Notons que les langagesbasés sur le Lambda calcul définissent les fonctions comme les règles de réécriture. En définissant unefonction dans Haskell, nous prescrivons, en effet, cette règle de réécriture. L’expression à gauche de =qui correspond à la signature de la fonction sera récrite par l’expression à droite de =.Dans ce cas précis de la fonction id, nous avons à gauche = la signature de la fonction avec unparamètre x qui sera récrite par l’expression à droite de =, c’est-à-dire en x sans le changer. C’est ladéfinition d’identité valable pour les valeurs de n’importe quel type.1Il s’agit d’une idée due à M. Schönfinkel, appelée également curryfication Wik06c (du terme anglais currying), selon le nomde Haskell Brooks Curry qui a également et indépendamment introduit cette idée BB9461