Algorithmes de la morphologie mathématique pour - Pastel - HAL

Jaromír BRAMBOR9.4. ESTIMATION DE LA COMPLEXITÉ ET DES PERFORMANCES POUR LES GPP/GPPMMO(Nlog 2 N) où N est le nombre des éléments, N ∈ N. En principe, nous sommes tentés d’utiliser ledeuxième algorithme dont la complexité est exprimée par une fonction moins croissante. Cependant,nous ne pouvons pas comparer le coût exact par une simple comparaison de O() des deux algorithmes.La complexité exprimée en O() ne nous indique pas le coût exact pour un cas précis et nous pouvonseffectivement trouver des cas spéciaux pour lesquels le choix du premier algorithme serait une solutionplus adaptée.Imaginons que le premier algorithme utilise pour évaluer les éléments les opérations de base, enrevanche, le deuxième algorithme va utiliser des opérations plus complexes ; ce qui va se traduire par uncoût plus important pour le traitement d’un élément du deuxième algorithme. Supposons que le rapportentre les coûts des deux algorithmes, cette fois-ci n’étant pas exprimé par le O(), est lié par une constantec ≥ 1 et que nous cherchons les valeurs précises de N pour lesquelles le choix du deuxième algorithmeest justifié. Nous essayons, en effet, de trouver la solution de l’inégalité :N 2 ≥ cNlog 2 Nce qui peut être récrit comme :ou encore :N ≥ clog 2 N2 N ≥ N cIci, nous comparons une fonction exponentielle avec une fonction polynomiale. Si nous essayons deconcrétiser les valeurs, nous nous apercevons que pour c = 1 et c = 2, l’inégalité est valable ∀N ∈ N tantque pour c ≥ 3, nous obtenons un intervalle (pour c = 3 il s’agit des valeurs N = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})dans lequel l’inégalité n’est pas valable. Pour les valeurs N concrètes incluses dans cet intervalle, l’emploidu premier algorithme serait plus avantageux. Cet intervalle s’élargit avec la valeur c grandissante.9.4 Estimation de la complexité et des performances pour les GPP/GPPMM9.4.1 Idée généraleL’exemple décrit précédemment devait nous démontrer l’utilité pratique de la spécification préciselors de l’estimation de la complexité d’un algorithme. À cette occasion, l’utilisation de O ou de la mesureplus restrictive o n’est pas la meilleure solution.Pour pouvoir exprimer le coût de nos algorithmes avec l’intention de pouvoir estimer le temps ducalcul, nous voudrions identifier les divers paramètres qui influent le plus le coût d’un tel algorithme.Vu que nos algorithmes, même généralisés, seront fortement orientés sur les architectures GPP et sontsurtout GPPMM qui ont un fonctionnement particulier, l’expression qui estimera la complexité pratiqued’un algorithme peut être perçue comme la construction d’un modèle de performance de cet algorithmepour la classe des architectures GPPMM.En pratique, nous allons distinguer explicitement les opérations qui ont un coût différent et nousallons les présenter comme telles dans notre modèle de performance. Les différences entre le modèle etla réalité sont toujours présentes et c’est pourquoi nous allons lier ce modèle théorique avec le vrai coûtd’un algorithme par la mesure Θ, cf. sa définition, page 178. Cette mesure est capable d’assimiler, via lesconstantes c 1 et c 2 de sa définition, les différences entre notre modèle de performance et la performanceexacte d’un algorithme.Nous avons une importante remarque à faire à cette place concernant l’utilisation pratique de Θcomme nous venons de le présenter. Si f(x) = αx 2 est la complexité exacte d’un algorithme, nouspouvons écrire f(x) = Θ(αx 2 ). Mais même si le terme α peut désigner le coût précis par pixel, nouspouvons exprimer cette complexité également comme f(x) = Θ(x 2 ) sans s’attaquer à la validité del’estimation. Le fait d’utiliser les termes constantes à la même place où nous avons utilisé α est critiqué(Wilf Wil94 , page 6) comme un mauvais style car α n’ajoute aucune information vis-à-vis la définition de179