Algorithmes de la morphologie mathématique pour - Pastel - HAL

Annexe AFonctions pour assurer l’exécution en cyclesIl est propre à la programmation impérative d’utiliser les cycles et de les gérer par les variablessauvegardant l’état pour exprimer l’itération actuelle. En revanche, l’approche fonctionnelle à la programmationne travaille pas avec l’information sur l’état du programme et les cycles ne sont pas définisa priori. L’exécution itérative se poursuit par les appels récursifs de la fonction qui évalue elle-même sila récursion doit prendre fin ou si elle doit se poursuivre.Haskell fournit les fonctions de base pour assurer l’exécution itérative mais le choix final de la manièreexacte de cette exécution est à définir par l’utilisateur.La fonction iterate, standard du Haskell assure l’application itérative de la fonction f sur x. Elle créeune liste infinie qui contient comme premier élément la variable d’entrée x, comme deuxième le résultatde la première itération, puis de la deuxième etc. :iterate :: (α → α) → α → [α]iterate f x = x : iterate f (f x)Par exemple, la fonctioniterate ( +1) 1a pour résultat la liste infinie [1, 2, 3, 4, 5, .....]. Pour obtenir un nombre défini d’itérations à partir decette liste, nous utilisons la fonction take, standard du Haskell, qui retourne la liste finie composée de npremiers éléments de la liste (x : xs) :take :: Int → [α] → [α]take 0 _ = [ ]take _ [ ] = [ ]take n (x :xs)| n > 0 = x : take (n−1) xstake _ _ = error "take"Pour obtenir le résultat de l’exécution itérative, il suffit de prendre le dernier élément de la liste crééepréalablement par les fonctions iterate et take. La fonction last, standard du Haskell, assure cette possibilité:last :: [α] → αlast [x ] = xlast (_:xs) = last xsAinsi, l’exécution de n itérations de la fonction f sur les données x est assurée par l’expressionsuivante :last ◦ (take (n+1)) ◦ ( iterate f ) $ x199