Algorithmes de la morphologie mathématique pour - Pastel - HAL

Algorithmes de la morphologie mathématique pour les architectures orientées fluxJaromír BRAMBORabstraits d’une architecture particulière. C’est pourquoi nous faisons appel aux mesures qui définissent larelation entre deux fonctions mathématiques. Nous avons recours aux fonctions plutôt qu’aux numérosprécis, car, dans la plupart des cas, c’est l’évolution du coût pour un ou plusieurs paramètres donnés quinous intéresse.Les mesures de croissance largement utilisées et décrites par les symboles o (petit o), O (grand o),Θ, ∼ et Ω sont dues à Donald Knuth Wik06e . Ces mesures sont toujours relatives à deux fonctions. Lorsde la description d’un algorithme, nous allons substituer sa complexité par une de ces fonctions et nousallons modéliser cette complexité en choisissant convenablement une autre fonction qui va nous servircomme étalon tout en respectant la définition de la mesure de croissance choisie.Les définitions des mesures de croissance que nous présentons sont extraites du livre traitant desalgorithmes et de la complexité de Herbert S. Wilf Wil94 . Pourtant, nous n’allons avoir recours qu’à certainesde ces fonctions pour exprimer la complexité des algorithmes dans cette thèse, notamment O et Ωqui semblent les plus adaptés à nos besoins.Définition 9.1 (Définition d’o (petit o)).Nous disons que f(x) = o(g(x)) pour x → ∞ si lim x→∞ f(x)/g(x) existe et est égale à 0.Définition 9.2 (Définition d’O (grand o)).Nous disons que f(x) = O(g(x)) pour x → ∞ si ∃C, x 0 tels que |f(x)| < Cg(x), ∀x > x 0 .Définition 9.3 (Définition de Θ).Nous disons que f(x) = Θ(g(x)) s’il existe les constantes c 1 > 0, c 2 > 0, x 0 telles que c 1 g(x) x 0 .Définition 9.4 (Définition de ∼).Nous disons que f(x) ∼ g(x) si lim x→∞ f(x)/g(x) = 1.Définition 9.5 (Définition d’Ω).Nous disons que f(x) = Ω(g(x)) si ∃ɛ > 0 est une séquence x 1 , x 2 , x 3 , · · · → ∞ telle que ∀j :|f(x j )| > ɛg(x j )9.3 Modélisation des performancesLa mesure de croissance utilisée le plus souvent dans la littérature pour estimer le coût des algorithmesest O. L’impact de cette mesure pour l’évaluation de la complexité est intelligible. Elle nouspermet de rester abstraits des détails de fonctionnement d’un algorithme et de le modéliser, tout en remplissantla définition, par une autre fonction qui est plus simple à décrire et à comprendre. Elle est trèsutile dans le cas où nous comparons la complexité de deux algorithmes différents ; par exemple, il estévident qu’un algorithme dont la complexité est de O(N 2 ) sera beaucoup moins avantageux que celuidont la complexité est de O(Nlog 2 N), pour N ∈ N, car nous remplaçons, dans ce dernier, une fonctionpolynomiale par une fonction contenant des logarithmes dont la croissance est moindre.Pourtant, cette mesure n’est pas la meilleure pour l’estimation pratique du coût des algorithmes. Eneffet, ce n’est pas sa vocation principale car elle définit la borne asymptotique maximale. En se basantsur N, le nombre des éléments à traiter, cette mesure ne capte pas le vrai coût que nous devons payerpour l’évaluation de ces éléments.Dans la morphologie pratique, comme dans d’autres domaines d’ailleurs, nous ne travaillons pas avecdes images excessivement grandes, d’autant moins avec les images dont le nombre d’éléments approchel’infini. Ce fait est accentué lors du traitement d’images en temps réel où nous essayons de réduire letemps du traitement le plus possible et où nous travaillons avec les sections d’une image ou avec desimages sous-échantillonnées. Dans ces cas, l’estimation de la complexité via O() peut nous conduire auchoix d’un algorithme inadapté à la situation particulière que nous rencontrons.Expliquons ce fait sur un exemple synthétique mais qui démontre bien la situation. Ayons un premieralgorithme dont la complexité est O(N 2 ) et ayons un deuxième algorithme dont la complexité est178