Algorithmes de la morphologie mathématique pour - Pastel - HAL

Jaromír BRAMBOR4.6. PRIMITIVES DE LA MORPHOLOGIQUE MATHÉMATIQUEdes voisins du terme voisinage et définir le dernier en incluant le point p car c’est avec une telle définitiondu voisinage que nous allons travailler le plus en pratique.Ainsi, nous comprenons sous le terme l’ensemble des voisins un ensemble des points de l’espace quisont voisins à un autre point en se basant sur les relations locales définies par une grille donnée. Ceci dit,l’ensemble des voisins NG ′ (p) du point p sur la grille G est défini comme :N ′ G(p) = {p ′ ∈ Z n , (p, p ′ ) ∈ G, n ∈ N} (4.3)Par extension, NG ′ (A) est l’ensemble des voisins d’un ensemble A.En revanche, le voisinage dit élargi que nous allons appeler désormais voisinage est un ensembleconstitué du point p et de son ensemble des voisins. Ainsi, le voisinage N G (p) du point p sur la grille Gest définit comme :N G (p) = {p} ∪ N G(p) ′ (4.4)La grille et la notion du voisinage qui sont associées à l’image (cf. l’équation 4.1) nous définissentles relations entre les pixels et définissent, en utilisant ces derniers, les ensembles des pixels voisins.Pourtant, les équations 4.2 et 4.3 qui sont devenues classiques dans la morphologie ne sont pas restreintesau domaine D de l’image I. Ce qui nous posera des problèmes lors de travail avec les bords de l’imageoù la grille définit également les relation entre les pixels à l’intérieur du domaine D de l’image I et lesindex qui ne sont pas inclus dans ce domaine et se trouvent à l’extérieur de l’image. Par conséquent, ladéfinition de l’ensemble des voisins NG ′ inclut également les points de l’extérieur du domaine de l’image.Les grilles le plus souvent utilisées dans les applications pratiques de la morphologie mathématiquesont représentées sur le fig. 4.10. Il s’agit notamment de la grille carrée avec 4-connexité entre les pixels(q.v. 4.10(a)) et de la grille carrée 8-connexe (q.v. 4.10(b)). D’autres types importants de grilles, largementutilisés dans la morphologie mathématique pour leurs propriétés de connexion lors du travailavec les composantes connexes (cf. l’article Soi03 pour plus de détails à ce sujet), sont appelées les grilleshexagonales 1 . La grille la plus souvent utilisée dans les applications qui traitent des signaux vidéos estcelle illustrée par la fig. 4.10(c) que nous appelons décalée par lignes. Mais il est possible d’envisagerl’utilisation d’une grille décalée par les colonnes, cf. 4.10(d), qui n’est pas couramment employée maisà laquelle nous devons faire appel si nous travaillons avec les images que nous transposons à l’intérieurde nos algorithmes.(a) Grille carrée4-connexe(b) Grille carrée8-connexe(c) Grille hexagonale6-connexe, décalée parlignes(d) Grille hexagonale6-connexe, décalée parcolonnesFIG. 4.10 : Grilles utilisées dans la morphologie mathématiqueLe problème majeur avec les grilles hexagonales est qu’elles emploient les positions dans l’imagesqui ne sont pas des nombres entier, car la ligne/colonne est décalée de 0.5 de la distance entre les pixels.Ce qui n’entre pas en cohérence avec les définissions décrites précédemment pour la grille (cf. équation4.2) où nous exigeons les nombres entiers. Ce problème est encore plus marquant lors du stockage despixels dans la mémoire à l’aide d’un array 2D qui est décrit, en effet, par la grille carrée.1Il s’agit, en effet, de grilles triangulaires, la notion d’hexagone surgit lors du travail avec le voisinage85