PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

2.2. Modèle d’écoulement dans les plisa m (x) = 1 h∫ h0a(x, y)dy et ā m (¯x) = 1¯h∫ ¯h0ā(¯x, ȳ)dȳ (2.17)Afin de s’affranchir de la variable ȳ, tout en conservant ses différentes contributions, nousutilisons un opérateur de prise de moyenne, équation (2.17). L’équation (2.16) devient alors :∫ 10( (f′ ) 2 − f f)′′ dȳ 1 dū 2 m2 d¯x + d ¯P md¯x − 1 (f(1) − f(0)) d2 ū mRe 0 d¯x 2 − 1 (f ′′ (1) − f ′′ (0) ) ū m = 0Re 0∫ 10⇔( )f ′2 − f ′′ f dȳ 1 dū 2 m2 d¯x + d ¯P md¯x − 1 d 2 ū mRe 0 d¯x 2 − 1 f ′′ (1)ū m = 0 (2.18)Re 0Afin de déterminer les équations régissant l’écoulement dans les plis d’entrée et de sortie,il est nécessaire d’évaluer la fonction f ainsi que l’intégrale ∫ ( )10f ′2 − f ′′ f dȳ dans le cas del’aspiration et de l’injection.Pli à ouverture variableNous utilisons les résultats de (2.13) dans les équations (2.11) et (2.12). Contrairement aucas précédent, l’adimensionnement est réalisé avec h 0 . Nous avons donc :ū = u u 0, ¯v = v u 0, ¯p =pρu 2 0, ¯x = x h 0, ȳ = y h 0, Re w = ρu f h 0µ , Re 0 = ρu 0h 0µ , ¯h = h h 0Les composantes du vecteur vitesse de l’équation (2.13) s’écrivent alors :⎧( )⎨ ū(¯x, ȳ) = ū m (¯x)f ′ ȳ¯h(¯x) ) (2.19)⎩ ¯v(¯x, ȳ) = RewRe 0fÀ partir des équations (2.19), on a :( )∂ūȳ∂¯x = f ′ dūm¯h(¯x) d¯x − ȳ¯h∂¯v= 1¯h( )Re w ȳf ′∂ȳ Re 0¯h(¯x)(ȳ¯h(¯x)(d¯h ȳd¯x f ′′ ¯h(¯x))ū m (2.20)(2.21)En remplaçant ces équations dans l’équation de conservation de la masse (2.15), nous obtenons:( ) ȳf ′ dūm¯h(¯x) d¯x − ȳ ( )d¯h ȳ¯h d¯x f ′′ ū m + 1¯h( )Re w ȳf¯h(¯x)′ = 0 (2.22)Re 0¯h(¯x)Nous appliquons l’opérateur de prise de moyenne à l’équation (2.22), pour obtenir l’équationde conservation de la masse pour un pli à hauteur variable :dū md¯x + 1¯h(¯x)d¯hd¯xūm + 1¯hRe wRe 0= 0 (2.23)79