PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thÃ¨ses en ligne de l'INP - Institut ...

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2.1. IntroductionLe nombre de Reynolds moyen de filtration, Re w , est particulièrement important. Celui-cia été défini par Berman [11] dans le cas d’écoulement dans des canaux poreux. Re w va nouspermettre de caractériser l’écoulement dans les plis. Le vecteur vitesse de filtration est orientécomme indiqué sur le schéma 2.2. Ainsi, pour le pli d’entrée (aspiration pariétale), le Reynoldsde filtration est positif. Par contre, le Reynolds de filtration est négatif pour le pli de sortie(injection pariétale).Nous définissons également le nombre de Reynolds du pli Re 0 à partir de la vitesse moyenneà l’entrée du pli.Re w = ρu f mh 0µRe 0 = ρu 0h 0µavec ρ la masse volumique du fluide et µ sa viscosité dynamique. h 0 est la demi-ouverture del’entrée du pli, figures 2.2 et 2.3 ; u fm représente la vitesse de filtration moyenne et u 0 la vitesseà l’entrée du pli.Dans le cas d’une aspiration pariétale, le Reynolds de filtration estDans le cas de la filtration de l’air, nous avons typiquement :– 100 < Re 0 < 2500– 20 < |Re w | < 175Ces valeurs sont particulièrement élevées comparativement à la filtration de l’huile [8, 7],pour lesquelles, le nombre de Reynolds de filtration est proche de l’unité.Écoulement dans le médium fibreuxNous allons comparer le gradient de pression au sein du médium fibreux selon la direction xau gradient de pression selon la direction y, cf figure 2.3, c’est à dire ∂P∂x / ∂P∂y. Un ratio très petitdevant 1 de ∂P∂x / ∂P∂ysignifie que l’écoulement a lieu principalement dans la direction y.Fig. 2.3 – Schéma d’un demi-canal avec des parois poreuses et à ouverture uniforme.Pour avoir un ordre de grandeur, nous faisons l’hypothèse que la vitesse de filtration estuniforme le long du pli. Le demi-canal en question est représenté sur le schéma 2.3. Dans ce cas,le gradient de pression est déterminé analytiquement dans le pli d’entrée [119] :∂P∂x = µ h 3 (h 0 u 0 − u fm x)C, avec : C ≈ Re w051
Chapitre 2.Échelle du pliNous en déduisons le gradient de pression dans le milieu poreux, dans la longueur du pli.Par ailleurs, le gradient de pression ∂P∂yest déterminé par la loi de Darcy, soit :Des équations précédentes, nous déduisons :∂P∂y = µ k u f m∂P∂x /∂P ∂y = (h 0u 0 − u fm x) Re wkh 3 0 u f mLa valeurs la plus élevée de ce rapport est en x = 0, soit :∂P∂x /∂P ∂y = Re wku 0h 2 0 u f mComme la totalité de l’écoulement passe dans le pli de sortie, un bilan de masse permetud’écrire dans le cas d’un pli à ouverture uniforme : 0u fm= L h 0. Nous obtenons ainsi l’expressiondu rapport des gradients de pression dans le milieu poreux :∂P∂x /∂P ∂y = Re wkLh 3 0Pour que l’écoulement dans le milieu poreux ait lieu essentiellement dans la direction perpendiculaireà l’interface milieu libre/poreux, le rapport précédent doit être petit devant 1. Nousavons :– k ≈ 10 −10 m 2– Re w ≈ 50– L ≈ 10 −2 m– h 0 ≈ 10 −3 mSoit :∂P∂x /∂P ∂y ≈ 5.10−2La valeur obtenue est faible devant 1 pour les paramètres choisis. Cependant, ∂P∂x / ∂P∂ypeut nepas être négligeable devant 1. . C’est ainsi le cas pour k = 3, 5.10 −10 m 2 et Re w = 100, puisquedans ce cas, ∂P ≈ 0, 35. C’est pourquoi, dans la partie consacrée à l’étude de l’écoulementdans un pli à l’aide d’un outil de CFD (page 74), nous nous sommes intéressé entre autres àl’écoulement au sein du milieu poreux. Nous avons cherché à déterminer si l’écoulement restebien unidirectionnel dans le médium fibreux.∂x / ∂P∂yAutres hypothèses simplificatricesUn écoulement est considéré incompressible si le nombre de Mach défini comme le rapportentre d’une vitesse caractéristique de l’écoulement et la célérité du son est très petit devant1. Dans notre cas, le nombre de Mach est M = u 0c≈ 0, 02. Nous pouvons donc considérerl’écoulement comme incompressible.L’impact de l’embossage sur la répartition de l’écoulement est étudié par Del Fabbro [45]. Lesrésultats montre que celui-ci n’a pas d’impact sur la chute de pression du média plissé. En effet,la répartition de l’écoulement dans le médium plissé, déterminée expérimentalement, montre quela répartition de l’écoulement est identique au niveau de l’embossage et en dehors de l’embossage.Une étude supplémentaire a été réalisée par CFD grâce au logiciel CFX [43]. Les calculs ont été52
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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Lirela seconde partiede la thèse
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