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2.2. Modèle d’écoulement dans les plisFig. 2.6 – Schéma d’un plide conservation de la masse et de la quantité de mouvement sont alors corrigées pour tenircompte du profil de vitesse. L’auteur a considéré comme négligeables les effets de la viscosité.Dans son cas, le nombre de Reynolds du pli, Re 0 , est supérieur à 2000 pour un débit volumiquede 3400m 3 /h et le nombre de Reynolds de filtration, Re w , est aux alentours de 100 pour 17 pliset 50 pour 22 plis.L’écoulement dans le milieu poreux est supposé perpendiculaire à la surface du médium etle couplage est réalisé par la loi de Darcy-Forchheimer. Cependant, en raison des faibles vitessesde filtration, les termes inertiels sont très faibles.L’auteur présente également un modèle de colmatage du médium plissé. Celui-ci sera présentédans la partie du manuscrit, consacrée au colmatage.À l’aide de son modèle, Raber obtient numériquement un nombre de plis optimal avec et sanscolmatage. Cet optimum est alors différent sans et avec colmatage : 17 et 22 plis respectivement.Il a aussi déterminé l’évolution de la vitesse de filtration le long du pli en fonction du nombrede plis. Celle-ci perd en homogénéité quand l’espacement des plis diminue.Cependant, la plupart des modèles pour l’écoulement dans un médium plissé font l’hypothèseque la composante longitudinale de la vitesse est un polynôme d’ordre 2 pour le pli d’entrée etde sortie [19, 131, 75]. L’intérêt du modèle de Lücke et Fissan [75] est de prendre en compte uneouverture variable de pli, alors que le modèle de Yu et Goulding [131] n’est valide que pour lesplis d’ouverture uniforme.À partir de cette hypothèse, et par un procédé de prise de moyenne sur la section du pli, Yuet Goulding [131] ainsi que Lücke et Fissan [75] déterminent les équations différentielles régissantl’écoulement dans chacun des plis. Le couplage, entre le pli d’entrée et de sortie, est réalisé grâceà la loi de Darcy.Yu et Goulding ont déterminé un nombre optimum de plis, sans colmatage, différent selonles caractéristiques de plissage et du médium fibreux. Par contre, le nombre optimum de plis estindépendant de la vitesse de filtration, tout du moins pour les débits considérés. De plus, la chutede pression d’un médium plissé demeure linéaire dans le domaine de vitesses de filtration étudié.Ce résultat est en contradiction avec d’autres résultats [45], pour lesquels le nombre optimumde plis varie avec la vitesse de filtration.Lücke et Fissan [75] valident leur modèle en le comparant aux résultats de Berman [11], pour57
Chapitre 2.Échelle du pliune vitesse de filtration uniforme et à ceux de Pui et al. dans le cas de pli à ouverture uniforme.Le modèle est en bon accord avec Berman et Pui et al. et prédit le même optimum que Pui et al..De plus, une validation expérimentale a été réalisée avec des filtres commerciaux. La géométriedes plis est déterminée par analyse optique. La comparaison avec les résultats expérimentauxmontre un bon accord. Cependant, un écart apparaît pour les plus grandes vitesses de filtration.Pour ces vitesses de filtration, le Reynolds de filtration est environs 100.Caesar et Schroth [19] comparent l’impact de plis à ouverture uniforme et variable sur lachute de pression d’un médium plissé. Ils prennent en compte l’élargissement et la contractionde l’air avant et après les plis. Les équations régissant l’écoulement dans le pli sont donnéespar les équations de Navier-Stokes prises au centre du pli. Par symétrie du problème, les composantesnormales de la vitesse sont nulles. De ce fait, ces termes sont négligés, alors qu’uneprise de moyenne sur l’ouverture du pli aurait pris en compte cette contribution. La composantelongitudinale est supposée parabolique dans la section du pli. Il en résulte :dPdx= −2, 25ρududx − 12µ uh 2 (z) + 1, u5µd2 dx 2Une comparaison entre les deux géométries montre que le pli à ouverture variable a une chutede pression moins importante que celle du pli à ouverture uniforme, à même densité de plissageet hauteur de pli.Oxarango et al. [97, 98, 96] ont une approche identique à Yu et Goulding et Lücke et Fissan :les équations de Navier-Stokes sont moyennées sur la demi-ouverture du canal/pli. Oxarangoet al. et Benmachou et al. [8, 7] obtiennent ainsi un système d’équations à une dimension.L’originalité des travaux, par rapport aux précédentes études, est liée à l’hypothèse sur le profilde l’écoulement. En effet, au lieu de faire l’hypothèse d’un écoulement dont la composantelongitudinale est un polynôme d’ordre 2, ceux-ci font l’hypothèse d’un écoulement de Berman[11]. Le couplage, entre le pli d’entrée et de sortie est déterminé par la loi de Darcy. La vitessede filtration locale est donc déterminée par la différence locale de pression entre le pli d’entréeet de sortie. Une validation à l’aide du logiciel Fluent est réalisée pour vérifier le profil de vitesseet de pression. En se basant sur les travaux de Brady [16], ils ont évalué la limite supérieure devalidité du modèle en terme du nombre de Reynolds de filtration à Re w ≈ 6. Oxarango et al.se sont intéressés à l’écoulement dans un filtre à particules constitué par un réseau de canaux àsection carré en parallèle avec des parois poreuses et Benmachou et al. [8, 7] se sont intéressésaux écoulements dans les plis d’une cartouche cylindrique pour la filtration liquide. En raisonde la géométrie cylindrique de cette dernière, les équations ont été développées pour un pli àouverture variable.Écoulement dans des canaux parallèles avec aspiration/injection pariétaleNous venons de voir qu’un certain nombre de travaux se sont intéressés à la modélisationde l’écoulement dans des filtres plissés. Raber fait l’hypothèse d’un écoulement uniforme pourle pli d’entrée et sinusoïdale pour le pli de sortie. D’autres font l’hypothèse d’un écoulement dePoiseuille aussi bien pour le pli d’entrée et de sortie [75, 19, 131]. D’autres auteurs [98, 96, 8, 7]ont utilisé les résultats de Berman [11]. Ce dernier ayant déterminé l’écoulement dans un canalayant des parois poreuses avec une vitesse pariètale uniforme. Berman montre également que sesrésultats analytiques tendent vers un écoulement de type Poiseuille lorsque la vitesse pariétaleest nulle. Il est donc indispensable de s’intéresser à la structure des écoulements dans les médiaplissés, afin de définir et de caractériser l’écoulement dans les plis.58
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Introductioncaptures des particules
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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Lirela seconde partiede la thèse
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