PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

Chapitre 2.Échelle du pli– la chute de pression totale est la somme de la chute de pression du milieu poreux et del’écoulement dans le pli (canal droit).Ils déterminent alors le ratio entre la chute de pression dans le canal ∆P c due aux forces deviscosités et la chute de pression due au médium fibreux ∆P m :∆P c≈ 8k ( ) L 3∆P m eL 2hAinsi, si ∆P m = µek u f m, comme les auteurs le proposent, alors la chute de pression totaleest :=∆P c=∆P m { { }} { ( }}) {µe∆P ≈k u 8µ L 3f m+u fm (2.49)L 2hCes auteurs se sont intéressés à des écoulements dans des filtres plissés pour de faibles vitessesde filtration. Dans ce cas, la chute de pression du médium plissé dépend linéairement de la vitessede filtration, comme le montre l’équation (2.49).Pour les plus grandes valeurs de vitesses de filtration, la chute de pression est en fait unefonction quadratique de la vitesse de filtration. En effet, pour les grandes vitesses de filtration,ou plus précisément lorsque le nombre de Reynolds est important la transition vers uncomportement non-linéaire apparaît. Ce comportement non-linéaire n’est pas dû à la transitionvers un écoulement turbulent. Si nous analysons le nombre de Reynolds des fibres, qui peutatteindre une valeur de 1,6, l’écoulement dans le milieu poreux reste laminaire. Si nous nousintéressons à présent au nombre de Reynolds des plis, qui a une valeur comprise entre 100 et2000, l’écoulement pariétal prévient l’apparition de la turbulence, comme nous l’avons vu dansl’étude bibliographique. La fin du comportement linéaire est due aux effets inertiels. L’équationde Darcy-Forchheimer, équation (2.50) est alors proposée pour prendre compte de ces effets [90].∆P = γµu fm + βρu 2 f m(2.50)De nombreux travaux ont par la suite tenté de déterminer si cette loi est valide pour tout ledomaine de débit. Ainsi, des suggestions ont été faites pour ajouter un terme cubique en vitesseà l’équation, Dullien [36] cite ainsi Polubarinova-Kochina et Irmay. Cependant, un grand nombrede résultats expérimentaux sont en accord avec l’équation de Forchheimer. Ainsi, d’après Dullien[36], l’équation de Forchheimer est adéquate pour décrire la physique des écoulements dans lesmilieux poreux en présence d’effets d’inerties.C’est la raison pour laquelle, la formule proposée par Chen et al. ne convient pas pour lesplus grandes vitesses de filtrations.Nous allons tenter, à présent, de comprendre plus finement l’écoulement dans le pli d’entréeet de sortie afin d’améliorer le modèle analytique de Chen et al.. Si nous faisons l’hypothèsesimplificatrice d’une vitesse de filtration uniforme, alors, l’évolution du débit dans le pli d’entréeet de sortie est connue. Des auteurs comme Berman [11], Yuan [133] et Terrill [119, 120] ont déterminél’écoulement dans cette configuration. Nous allons utiliser ces résultats pour déterminerla chute de pression dans le pli ainsi que celle du médium plissé.Plus précisément, nous déterminons la chute de pression totale dans le médium plissé dansle cas des faibles puis des grand Reynolds de filtration Re w . Nous désignerons le premier modèlepar modèle de Chen et al. modifié et le second par modèle grand Reynolds. Pour les faiblesvaleurs de Re w , nous utilisons les résultats de Berman pour déterminer la chute de pression,∆P B , dans le pli de sortie, soit112