PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

2.2. Modèle d’écoulement dans les plisQue ce soit pour le pli d’entrée ou le pli de sortie, l’équation de conservation de la quantitéde mouvement s’écrit sous la forme suivante dans le cas d’un pli à ouverture uniforme :A dū2 mdx + Bū m − 1 d 2 ū mRe 0 dx 2 + d ¯P mdx = 0L’équation de conservation de la masse est de la forme :D dū mdx ± C( ¯P m1 − ¯P m2 ) = 0Soit alors les fonctions g 1 , g 2 , g 3 et g 4 définies par :g 1 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = dū m 1dx ± E( ¯P m1 − ¯P m2 ) (2.39)g 2 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = A dū2 m 1dx + B 1ū m1 − C 1ū m1 + d ¯P m1Re 0 Re 0 dx(2.40)g 3 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = dū m 2dx ± E( ¯P m1 − ¯P m2 ) (2.41)g 4 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = A dū2 m 2dx + B 2ū m2 − C 2ū m2 + d ¯P m2Re 0 Re 0 dx(2.42)La mise en œuvre de la méthode de Newton-Raphson consiste à déterminer ū m1 , ¯P m1 , ū m2 et¯P m2 qui annulent les fonctions g 1 , g 2 , g 3 et g 4 . Pour cela, il est nécessaire de calculer les dérivées.La discrétisation de ces équations nous permet d’écrire le système suivant :⎧2A 1 ū m1i+12δū m1i+12−δū m1i−12δx+ B 1 δū m1i+12− 1Re 0δū m1i+32+δū m1i−12−2δū m1i+12δx 2+ δ ¯P m1i+1 −δ ¯P m1iδx= A 1ū 2 m 1i+ i2−ū 2 m 1i− i2δx+ B 1 ū m1i+12⎪⎨−C 1ū m1i+32+ū m1i−12−2ū m1i+12δx 2 +D 1δū m1i+i2−δū m1i−i2δx± C 1 (δ ¯P m1i − δ ¯P m2i ) = D 1ū m1i+12−ū m1i−12δx± C( ¯P m1i − ¯P m2i )¯P m1i+1 − ¯P m1iδx2A 2 ū m2i+12δū m2i+12−δū m2i−12δx+ B 2 δū m2i+12− 1Re 0δū m2i+32+δū m2i−12−2δū m2i+12δx 2+ δ ¯P m2i+1 −δ ¯P m2iδx= A 2ū 2 m 2i+ i2−ū 2 m 2i− i2δx+ B 2 ū m2i+12⎪⎩−C 2ū m2i+32+ū m2i−12−2ū m2i+12δx 2 +¯P m2i+1 −P 2iD 2δū m2i+i2−δū m2i−i2δx± C 2 (δ ¯P m1i − δ ¯P m2i ) = D 2ū m2i+12−ū m2i−12δx± C( ¯P m1i − ¯P m2i )(2.43)Les inconnues sont δU 1i+ 12, δU 2i+ 12, δP 1i , δP 2i . Ces inconnues sont déterminées par la résolutiondu système d’équations linéaires (2.43) à l’aide d’une méthode ditrecte. Les variables sontalors déterminées itérativement :⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ū n+1m 1= ū n m 1− δū m1¯P 1 n+1 = ¯P m n 1− δ ¯P m1ū n+1m 2= ū n m 2− δū m2¯P n+1m 2= ¯P n m 2− δ ¯P m285δx