PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

Chapitre 2.Échelle du pli∫ 10( )f ′2 − f ′′ f dȳ =∫ 10(f′′0 − f ′′0 f 0)dȳ + ε∫ 10(f′0 f ′ 1 − f ′′0 f 1 − f ′′1 f 0)dȳ (2.33)En utilisant ces résultats dans le système d’équation (2.25), nous obtenons alors, pour undéveloppement à l’ordre 1 l’équation de conservation de la quantité de mouvement suivante :− π 8dū 2 md¯x + π γū m − 1 d 2 ū m2Re 0 Re 0 d¯x 2 + d ¯P md¯x = 0 (2.34)γ est une constante déterminée numériquement : γ ≈ 0, 8251. Les équations à une dimensionrégissant l’écoulement du canal de sortie peuvent alors s’écrire :{dū m2d¯x + Rew 2π 28Re 0= 0dū 2 m 2d¯x + π2Re 0γū m2 − 1 d 2 ū m2Re 0+ d ¯P 2d¯x 2 d¯x= 0Dans le cas d’une ouverture variable, nous avons des termes supplémentaires. En procédantpar une méthode semblable à celle du pli d’entrée, nous obtenons les équations régissant l’écoulementdans le pli de sortie. Soit :⎧⎪⎨⎪⎩[+ 1 1 π 2Re 0 ¯h 2 42( (d¯h2d¯xdū m2d¯x + 1d¯h 2d¯x ūm 2+ 1¯h 2Re w2Re 0= 0¯h 2 (¯x)π 2 dū 2 m 28 d¯x − 1 d 2 ū m2Re 0+ d ¯P m2d¯x 2 d¯x+ 3π2 1 d¯h 216 ¯h 2 d¯x ū2 m 2− 2 1 d¯h 2 dū m2Re 0 ¯h 2 d¯x d¯x) 2+ 1)− ¯h 2d 2¯h 2d¯x 2]+ π ¯h 2 2 γ ū m2 = 0Couplage entre le pli d’entrée et le pli de sortieLe couplage entre le pli d’entrée et le pli de sortie est réalisé avec les hypothèses suivantes :– L’écoulement au sein du médium poreux est perpendiculaire à sa surface. L’écoulementdans la direction x est négligé.– L’écoulement est stationnaire dans le milieu poreux.– L’écoulement dans le milieu poreux est régit par la loi de Darcy :∇P = µ k u (2.35)La pression est quasiment uniforme dans la section du pli, nous pouvons alors écrire ∆P (x) =P 1 (x, h) − P 2 (x, h) = P m1 (x) − P m2 (x). En adimensionnant l’équation (2.35), et en l’intégrantsur l’épaisseur e du médium poreux, nous obtenons :Re w ¯Pm1 −= Re ¯P m20¯kRe 0 ēavec ē = eh 0et ¯k = k . Les équations de couplage adimensionnées sont alors les suivantes :h 2 0{Rew = Re w1 = −Re w2Re w¯Pm1 −Re 0= Re 0¯k ¯P m2ēNous obtenons ainsi le système d’équations pour le système pli d’entré, pli de sortie et lemilieu poreux dans le cas d’un pli à ouverture uniforme avec h 1 = h 2 :82