PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

2.2. Modèle d’écoulement dans les plisL’étude de l’écoulement au sein de canaux ou tubes ayant une frontière poreuse regroupe bienentendu la filtration automobile avec les filtres à particules, à huile mais aussi le domaine desmoteurs de fusée et de missiles ou encore des systèmes biologiques, la filtration membranaire.Une première approche de la compréhension de ces phénomènes est réalisée en étudiant dessystèmes avec aspiration ou injection pariétale uniforme. Il n’est pas étonnant, dès lors quel’étude de l’écoulement dans des canaux ou tubes avec aspiration ou injection pariétale aitsuscité un intérêt. Ainsi, des travaux aussi bien théoriques, notamment avec la recherche desolutions analytiques affines et l’étude de leur stabilité, qu’expérimentaux ont été réalisés. Lapartie expérimentale cherche à étudier la structure de ces écoulements, entre autres, la transitiond’un écoulement laminaire vers un écoulement turbulent.Étant donnée que nous avons un nombre de Reynolds de filtration élevé, nous allons nousintéresser aux différentes problématiques de ces écoulements. Nous commencerons par la recherchede solutions affines dans un canal avec aspiration ou injection pariètale uniforme. Puisnous nous intéresserons à la stabilité de telles solutions. Nous évoquerons, pour le troisièmepoint, les comparaisons des solutions affines avec des résultats expérimentaux et simulationsnumériques. Enfin, en raison du nombre de Reynolds de canal élevé, nous terminerons par latransition de l’écoulement vers un écoulement turbulent.Solutions affines pour un écoulement avec apiration/injection pariètale Berman [11]a été l’un des premiers à déterminer analytiquement, par un développement asymptotique pourles faibles Reynolds de parois, Re w , une solution affine de l’écoulement dans un canal avecaspiration et injection pariétale uniforme. Lorsque le Reynolds de parois, Re w , tend vers 0, lasolution ainsi obtenue tend vers un écoulement de Poiseuille, comme le montre l’équation 2.6.Berman a choisi une configuration symétrique pour le pli avec une condition de non glissementà la paroi. Les Reynolds de parois positifs correspondent à une aspiration pariétale, et pour lesReynolds de parois négatifs à une injection.Les composantes longitudinales et transversales de la vitesse ainsi que le champ de pressionpour le modèle de Berman sont donnés par :u(¯x, ȳ) = 3 2 (1 − ȳ2 ) ( 1 − Rew420 (2 − 7ȳ2 − 7ȳ 4 ) ) u m (x)v(¯x, ȳ) = ( ȳ2 (3 − ȳ2 ) − Rew280 ȳ(2 − 3ȳ2 + ȳ 6 ) ) u fP (¯x, ȳ) − P (0, ȳ) = µ (h 0u0¯x − u f2 ¯x2) ( −3 + 8135 Re )(2.6)wu m (x) est la composante longitudinale moyenne de la vitesse, u f est la vitesse de filtration.x et y sont les coordonnées longitudinales et transversales. h 0 est la demi-ouverture du canal.Nous avons ¯x = x h 0et ȳ = y h 0. Et nous définissons u 0 = u m (0).De même, Yuan [132] s’est intéressé à l’étude d’écoulement dans des canaux avec injectionpariétale mais pour les grand Reynolds de filtration Re w . Une solution analytique a été déterminéesous l’hypothèse d’un écoulement laminaire. La composante longitudinale de la vitesse estune fonction sinusoïdale. Les équations décrivant l’écoulement sont :f(y) ={sin πy2h 0+ 1[πRe w 4()sin πy2h 0− πy2h 0cos πy2h 0∣ (∣ln ∣tan πy ∣∣ ∫πy2h4h 0+00) ]}θsin θ dθ − A y π πyh 0 4cos2h 0A = ∫ π2 θ0 sin θdθ − 1 ≈ 0, 83193u(x, y) = f ′ (y)u m (x)v(x, y) = f(y)u fP (x, y) − P (0, y) = µ xh 0(u 0 h 0− u ( ) ( )f x 2 π 22 h)4 − 2,049Re wRe w(2.7)59