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2.4. Exploitation du modèlea. Vitesse de filtration u fm = 0, 45m/s. b. Vitesse de filtration u fm = 0, 25m/s.Fig. 2.63 – Évolution du gradient de pression du pli d’entrée, adimensionné par ρu2 0 , en fonctionde l’abscisse adimensionnée par h 0 , X, d’un médium plissé dans le cas d’une vitesse de filtrationuniforme le long du pli. Densité de 8 plis pour 100mm, hauteur de pli 51mm et δ = 0, 35.Nous avons représenté l’évolution du gradient de pression, dPmdxdéterminé analytiquement,équation (2.48), le long du pli sur les figures 2.62 et 2.63. Ces figures représentent l’évolutiondu gradient de pression pour un pli de 51mm de hauteur de pli et 8 plis pour 100mm à partirdes caractéristiques du médium N687. La figure 2.62 est obtenue pour δ = 0, 5 et des vitessesde filtration moyenne u fm = 0, 45m/s et u fm = 0, 25m/s, soit respectivement Re w = 82 etRe w = 46. La figure 2.63 est réalisée pour δ = 0, 35 pour les mêmes vitesses de filtration.Nous pouvons remarquer que le changement de signe de dPmdxdépend de la géométrie du pli.Ce résultat est particulièrement intéressant, puisque c’est la différence locale de pression entre lepli d’entrée et de sortie qui fixe la vitesse de filtration. Or une décroissance de la pression dansle pli d’entrée conduit à une homogénéisation de l’écoulement, comme cela est illustré par lesfigures 2.57 et 2.58 pour δ = 0, 4, puis à un déplacement du maximum de vitesse de filtration,pour δ = 0, 2. Celui-ci est alors situé avant le fond du pli. Cela permet de comprendre pourquoi,dans certains cas, constatés par les industriels dans le domaine de la filtration, la poussière nese dépose pas dans le fond du pli en laissant une partie du pli quasiment propre.Il est possible de déterminer, analytiquement pour le cas d’une vitesse de filtration uniforme,la géométrie à partir de laquelle, le gradient de pression change de signe. Cela permettra dedimensionner le médium plissé de telle sorte que la totalité du médium plissé serve à la filtration.2.4.4 Recherche de la densité de pli optimaleLa recherche de la densité de pli optimale d’un médium plissé fait partie des préoccupationsindustrielles. Nous présenterons le modèle analytique de Chen et al. [24], et le modèle de DelFabbro. Le “modèle” de Del Fabbro n’est en fait qu’une formule empirique calibrée sur desrésultats expérimentaux [43, 44].( )() 0,7∆P (L + 2e)e 460 µ0,7( µee ˜Ru= 1 + 2 ˜Rf p 2 .10e 2 ˜R )0,7 ( L+2ep ) 2log(1+ L+2e 1eLe modèle de Chen et al. est basé sur les hypothèses suivantes :– écoulement de Poiseuille dans le pli d’entrée et de sortie.– la loi de Darcy contrôle la chute de pression du milieu poreux.Re)111
Chapitre 2.Échelle du pli– la chute de pression totale est la somme de la chute de pression du milieu poreux et del’écoulement dans le pli (canal droit).Ils déterminent alors le ratio entre la chute de pression dans le canal ∆P c due aux forces deviscosités et la chute de pression due au médium fibreux ∆P m :∆P c≈ 8k ( ) L 3∆P m eL 2hAinsi, si ∆P m = µek u f m, comme les auteurs le proposent, alors la chute de pression totaleest :=∆P c=∆P m { { }} { ( }}) {µe∆P ≈k u 8µ L 3f m+u fm (2.49)L 2hCes auteurs se sont intéressés à des écoulements dans des filtres plissés pour de faibles vitessesde filtration. Dans ce cas, la chute de pression du médium plissé dépend linéairement de la vitessede filtration, comme le montre l’équation (2.49).Pour les plus grandes valeurs de vitesses de filtration, la chute de pression est en fait unefonction quadratique de la vitesse de filtration. En effet, pour les grandes vitesses de filtration,ou plus précisément lorsque le nombre de Reynolds est important la transition vers uncomportement non-linéaire apparaît. Ce comportement non-linéaire n’est pas dû à la transitionvers un écoulement turbulent. Si nous analysons le nombre de Reynolds des fibres, qui peutatteindre une valeur de 1,6, l’écoulement dans le milieu poreux reste laminaire. Si nous nousintéressons à présent au nombre de Reynolds des plis, qui a une valeur comprise entre 100 et2000, l’écoulement pariétal prévient l’apparition de la turbulence, comme nous l’avons vu dansl’étude bibliographique. La fin du comportement linéaire est due aux effets inertiels. L’équationde Darcy-Forchheimer, équation (2.50) est alors proposée pour prendre compte de ces effets [90].∆P = γµu fm + βρu 2 f m(2.50)De nombreux travaux ont par la suite tenté de déterminer si cette loi est valide pour tout ledomaine de débit. Ainsi, des suggestions ont été faites pour ajouter un terme cubique en vitesseà l’équation, Dullien [36] cite ainsi Polubarinova-Kochina et Irmay. Cependant, un grand nombrede résultats expérimentaux sont en accord avec l’équation de Forchheimer. Ainsi, d’après Dullien[36], l’équation de Forchheimer est adéquate pour décrire la physique des écoulements dans lesmilieux poreux en présence d’effets d’inerties.C’est la raison pour laquelle, la formule proposée par Chen et al. ne convient pas pour lesplus grandes vitesses de filtrations.Nous allons tenter, à présent, de comprendre plus finement l’écoulement dans le pli d’entréeet de sortie afin d’améliorer le modèle analytique de Chen et al.. Si nous faisons l’hypothèsesimplificatrice d’une vitesse de filtration uniforme, alors, l’évolution du débit dans le pli d’entréeet de sortie est connue. Des auteurs comme Berman [11], Yuan [133] et Terrill [119, 120] ont déterminél’écoulement dans cette configuration. Nous allons utiliser ces résultats pour déterminerla chute de pression dans le pli ainsi que celle du médium plissé.Plus précisément, nous déterminons la chute de pression totale dans le médium plissé dansle cas des faibles puis des grand Reynolds de filtration Re w . Nous désignerons le premier modèlepar modèle de Chen et al. modifié et le second par modèle grand Reynolds. Pour les faiblesvaleurs de Re w , nous utilisons les résultats de Berman pour déterminer la chute de pression,∆P B , dans le pli de sortie, soit112
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