PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...
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2.2. Modèle d’écoulem<strong>en</strong>t dans les plisOu <strong>en</strong>core :⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩− π 8− π 81 dū 2 m 12 d¯x − 1d 2 ū m1Re 0− 2d¯x 2Re w1Re 0dū 2 m 2d¯x + π2Re 0γū m2 − 1Re 0d 2 ū m21 dū 2 m 12 d¯x − 1dū m1d¯xd 2 ū m1Re 0− 2d¯x 2 dū m2d¯xdū 2 m 2d¯x + π2Re 0γū m2 − 1Re 0d 2 ū m2d¯x 2dū m1d¯x + Rew 1Re 0= 0Re 0ū m1 + d P ¯ m1d¯x= 0¯Pm1 −− Re 0¯k ¯P m2ē= 0dū m2d¯x − Rew 1+ d P ¯ m2d¯x 2Re 0= 0d¯x= 0+ Re 0¯k ¯P m1 − ¯P m2ē= 0Re 0dū m1 + d P ¯ m1d¯x= 0− Re 0¯k ¯P m1 − ¯P m2ē= 0+ d ¯P m2d¯x= 0Pour le pli à section variable, nous obt<strong>en</strong>ons le système suivant :⎧[ ( ( ) )] 21 − 1 1 + d¯h12¯h 1 d¯xdū m1d¯x + ¯h 1 d¯h 11 (¯x) d¯x ūm 1+ 1[(dū 2 m 1d¯x + ¯h 1 d¯h 1 31 d¯x 2(1 − ¯h 1 + d¯h11 d¯x¯Pm1 −Re ¯h 1 0¯k ¯P m2ē) )] 2= 0ū 2 m 1(2.36)(2.37)⎪⎨⎪⎩π 28dū 2 m 2d¯x − 1− 1¯h 2 11Re 0[¯h 1 + 1 +(d¯h1d¯x) 2+ ¯h1d 2¯h 1d¯x 2 ]ū m1dū m1d¯x − 1Re 0d 2 ū m1− 2 1 d¯h 1Re 0 ¯h 1 d¯xdū m2d¯x + ¯h 12 (¯x)d 2 ū m2Re 0+ 3π2 1 d¯h 2d¯x 2 16 ¯h 2 d¯x ū2 m 2− 2 1 d¯h 2[ ( Re 0 ¯h 2 d¯x( ) ) 2+ 1 1 π 2 d¯h2Re 0 ¯h 2 4 d¯x + 1 − ¯h d 2¯h 2 2 d¯x 22+ d P ¯ m1d¯x 2d¯x= 0d¯h 2d¯x ūm 2− ¯h 1 ¯Pm1 −Re20¯k ¯P m2e= 0dū m2d¯x+ d ¯P m2d¯x]+ π ¯h 2 2 γ ū m2 = 0(2.38)Conditions limitesLa filtration est réalisée à débit constant, c’est pourquoi, nous imposons comme conditiond’<strong>en</strong>trée le débit. En sortie, nous imposons une pression <strong>de</strong> référ<strong>en</strong>ce.Lors du plissage du médium fibreux celui-ci est compressé. N’ayant pas d’information surl’impact exact <strong>de</strong> la compression, nous avons étudié <strong>de</strong>ux configurations :– Le fond <strong>de</strong>s plis est imperméable. <strong>Les</strong> conditions aux limites sont alors ū m1 (0) = 1,ū m1 (¯L) = 0, ū m2 (0) = 0 et ¯P m2 (¯L) = 0– Le fond <strong>de</strong>s plis est poreux. <strong>Les</strong> conditions limites sont alors : ū m1 (0) + ū m2 (0) = 1,ū m1 (¯L) + ū m2 (¯L) = 1, ¯Pm2 (¯L) = 0. Nous utilisons la loi <strong>de</strong> Darcy pour déterminer lesautres termes : ū m2 (0) ainsi que ū m1 (¯L). On peut noter qu’il est possible d’appliquer uneépaisseur et une perméabilité pour le fond <strong>de</strong>s plis différ<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> celles du reste du médiumfibreux.Discrétisation <strong>de</strong>s équations et métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> résolutionConcernant la discrétisation, nous utiliserons une métho<strong>de</strong> aux différ<strong>en</strong>ces finies et un schémaamont pour les dérivées d’ordre 1 [1]. Le maillage <strong>de</strong> la vitesse est décalé par rapport à celui <strong>de</strong>la pression [1], comme cela est illustré sur la figure 2.30.83