PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

2.2. Modèle d’écoulement dans les plisles filtres automobiles la vitesse de filtration varie le long du pli quelque soit la vitesse defiltration moyenne considérée. L’écoulement passe essentiellement par le Creux et dans unemoindre mesure par la Bosse (cf. figure 2.5).Chen et al. [24] ont étudié l’écoulement dans des média plissés en résolvant les équationsde Navier-Stokes dans le gaz et les équations de Darcy-Lapwood-Brinkman (2.2) pour le milieuporeux. Les auteurs considèrent que la vitesse de glissement à l’interface entre le milieu poreuxet le fluide n’est pas nulle. Il en résulte une diminution de la chute de pression associée àl’écoulement dans le pli.(ρε 2 u ∂u∂x + v ∂u )= − ∂P∂y ∂x − µ k u + µ ( ∂ 2 )uε ∂x 2 + ∂2 u∂y 2Nassehi et al. [89], Wakeman et al. [123] ont aussi étudié l’écoulement dans un médiumplissé en résolvant les équations par une méthode d’éléments finis. Nassehi et al. présententune approche par éléments finis pour modéliser la transition d’un écoulement entre un domaineporeux, gouverné par l’équation de Darcy et un domaine fluide, où l’écoulement est gouverné parles équations de Stokes. La démarche est similaire à celle adoptée pour la filtration membranaire[88].Wakeman et al. ont par ailleurs étudié l’influence de la compression d’un médium en fibre deverre dans le cas de l’écoulement d’un liquide dans une cartouche. Des mesures de perméabilité dumilieu fibreux sont réalisées pour différentes vitesses de filtration, permettant ainsi de déterminerla courbe de perméabilité en fonction de la chute de pression. Ils déterminent empiriquementl’évolution de la perméabilité en fonction de la pression. Trois phases sont alors distinguées :1. Le médium n’est pas encore compressé, la perméabilité reste constante.(2.2)2. Le médium est compressé, la perméabilité évolue alors en fonction de la pression. Lesdifférentes mesures expérimentales sont approchées par une loi en puissance.3. Le médium est à son taux de compression maximum et la perméabilité n’évolue plus.Ces lois sur l’évolution de la perméabilité sont couplées avec le modèle d’écoulement afin dedéterminer le comportement de la cartouche. La comparaison avec les résultats expérimentauxmontre un meilleur accord en prenant en compte la loi d’évolution de la perméabilité avec lacompression.Une méthode par domaine fictif est utilisée pour modéliser l’existence de plusieurs domainesayant des propriétés physiques différentes. Cette méthode permet de modéliser l’écoulement danstout le domaine par un unique système d’équations, Navier-Stokes-Brinkman (2.4) :∇ · u = 0 (2.3)Navier-Stokes{ }} {−∇ · (˜µ∇u) + (ρu∇)u + ˜µ ˜K{ }} {−1u + µ∇ 2 u −∇P =} {{ }˜fLoi de Darcy-BrinkmanLes termes comportant des tildes ont des valeurs différentes selon l’endroit du domaineconsidéré. Dans le milieu poreux, les coefficients sont choisis pour obtenir l’équation de Brinkman,et dans la zone de fluide, le système se réduit alors aux équations de Navier-Stokes. Khadraet al. [67] ont ainsi mis en évidence que cette méthode permet de simuler correctement lesécoulements dans les domaines contenant des zones poreuses et des zones de fluides libres dansle cas de nombres de Reynolds modérés. Iliev et al. [58] ont utilisé cette méthode, couplée à unerésolution par volumes-finis, pour étudier l’écoulement dans un ”filtre” à huile.(2.4)55