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1.3. Choix du modèle de perméabilité1.3.3 Modèle multi-fibresComme nous venons de le voir, nous avons un modèle de perméabilité satisfaisant pour uneporosité comprise entre 0, 85 et 0, 95 dans le cas de médium fibreux monodisperse en diamètre.Cependant, la plupart des média possèdent au moins deux types de fibre dont le diamètre desfibres est très différent. C’est pourquoi, il est nécessaire de prendre en compte la distribution entaille des fibres, comme cela est proposé par Li et Park [78]. Nous utilisons leurs résultats pourune distribution discrète en taille de fibres.Soit F di la force de traînée par unité de longueur exercée sur la fibre de rayon R i . Alors, laforce de traînée totale exercée par l’écoulement sur les fibres, F t , est alors déterminée par :F t = ∑ iZ i F di (1.21)avec Z i , la longueur totale des fibres de diamètres R i . Or, nous pouvons déterminer Z i à partirde la fraction volumique, φ i :Z i = V tφ iπR 2 i, où V t est le volume total du médium fibreuxLa force totale exercée par le fluide sur l’ensembles des fibres s’écrit alors :F t = V t∑iφ iπRi2 F diLa chute de pression qui compense la force exercée par le fluide sur les fibres est donnéeepar :− ∆Pe= F tV t= ∑ iφ iπR 2 iF di (1.22)Nous déduisons de l’équation 1.22 la perméabilité d’un médium fibreux polydisperse en diamètrede fibres avec une répartition discrète en diamètre :1k = 1µu f∑iφ iπRi2 F diL’expression de F di dépend du modèle de perméabilité choisi. Comme le modèle de Spielmanet Goren a donné les meilleurs résultats, nous allons utiliser ce modèle pour déterminer laperméabilité de fibres perpendiculaires et parallèles à l’écoulement. Nous déterminons ensuite,à partir de k ⊥ et de k ‖ , la perméabilité pour un milieu isotrope.Pour les fibres perpendiculaires à l’écoulement, nous avons [78] :F di⊥ = µπu f(α i⊥K 1 (α i⊥ )K 0 (α i⊥ ) + 2α2 i ⊥)(1.23)Avec α 2 i ⊥= R2 ik ⊥.En combinant les équations (1.22) et (1.23), nous obtenons l’équation 1.24. La résolution decette équation permet de déterminer la perméabilité d’un médium fibreux dont les fibres sontpolydisperses en diamètre de fibre et perpendiculaires à l’écoulement :43
Chapitre 1. Médium PlanEchantillon 26Tous les échantillonsFig. 1.35 – Évolution de la chute de pression, ∆P en Pa, en fonction de la vitesse de filtrationpour le médium N687.1= ∑ k ⊥i⎛( ⎞φ K Rii1⎝4 √ ( ) + 2 φ i√ ⎠ (1.24)R i k⊥K Ri 0 √k⊥ k⊥√k⊥)Dans le cas de fibres parallèles à l’écoulement, nous obtenons :( )2 ∑ φ√ K 1 √R iik‖kR ‖ ( ) = 1 (1.25)i i rK i 0 √k‖Nous déterminons ensuite la perméabilité pour un milieu isotrope à l’aide de l’équation (1.20),soit :1k = 2 + 13k ⊥ 3k ‖Echantillon 4Tous les échantillonsFig. 1.36 – Évolution de la chute de pression, ∆P en Pa, en fonction de la vitesse de filtrationpour le médium N937.44
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discussions interminables au goût
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2.4. Exploitation du modèle∆P Bt
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2.4. Exploitation du modèleFig. 2.
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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Lirela seconde partiede la thèse
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