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1.3. Choix du modèle de perméabilitéFibres perpendiculaires à l’écoulement Comme pour le modèle cellulaire, la fonction decourant est déterminée pour l’écoulement de Stokes et l’écoulement de Brinkman. Pour 1 < ¯r a :Ψ 2 =[¯r − Ā ]r + Bα ⊥K 1 (α ⊥¯r) sin θA, B, C et D sont des constantes d’intégration. Celles-ci sont déterminées grâces aux conditionslimites en ¯r = 1, ¯r = a et pour la limite en ā∞. Voir Li et Park [78] pour les détails.La force de traînée par unité de longueur, adimensionnée par µu f , est alors donnée par :F d⊥ =∫ 2π0(σ¯r¯r |¯r=1cos θ − σ¯rθ |¯r=1sin θ)dθ = 4πDoù D est la constante définie précédemment.On aboutit ainsi à une fonction implicite de la perméabilité pour des fibres perpendiculairesà l’écoulement :α 2 ⊥ = 4(1 − ε)α ⊥QAvec :[(−2α2⊥ a 2 + 3a 4 α⊥ 2 + 16a2 − α⊥2 )K1 (α ⊥ a) + 8a 3 α ⊥ K 0 (α ⊥ ) ] (1.14)Q = ( 16α ⊥ a 2 ln a − α 3 ⊥ ln a + α3 ⊥ a4 ln a − α 3 ⊥ a4 − α 3 ⊥ + 2a2 α 3 ⊥)K1 (α ⊥ a)+ ( −α 2 ⊥ + 16a2 + 4α 2 ⊥ a4 ln a − α 2 ⊥ a4 + 4α 2 ⊥ a2) K 0 (α ⊥ a)(1.15)Pour a = 1 (modèle de Spielman et Goren) l’équation (1.14) se simplifie pour donner :( )1α⊥ 2 = 4(1 − ε) 2 α2 ⊥ + α K 1 (α ⊥ )⊥K 0 (α ⊥ )Ecoulement dans un milieu fibreux tridimensionnel(1.16)À partir des résultats obtenus pour un écoulement bidimensionnel, il est possible de déterminerl’écoulement pour une structure tridimensionnelle par superposition du fait de la linéarité deséquations de Stokes et de Brinkman. Ainsi, Jackson et James [60] ont déterminé la perméabilitéde milieux fibreux tridimensionnels à partir des modèles bidimensionnels de Drummond et Tahir[34]. Li et Park [78] proposent une approche semblable.Higdon et al. [53] se sont intéressés aux écoulements dans des milieux fibreux particulierset calculent la perméabilité à partir de simulations numériques sur des géométries tridimensionnelles.L’arrangement tridimensionnel des fibres est représenté dans un cube. Les différentesgéométries étudiées sont :– Cubique simple– Cubique centrée– Cubique face centréeUne approche différente de toutes ces méthodes est l’approche de Lattice-Boltzman. De nombreusesétudes pour déterminer la perméabilité de médium fibreux et le colmatage de médiumfibreux ont utilisé cette méthode [47, 48, 74, 130].37
Chapitre 1. Médium PlanFibres polydisperseLes modèles basés sur une approche cellulaire ou sur l’approximation des milieux effectifsdéterminent la perméabilité d’un milieu monodisperse en taille de fibres. Or la plupart des médiasont polydisperses en diamètre de fibre.L’approche choisi par Bergman et al. [10] ou Li et Park [78], pour déterminer la perméabilitéde tel milieux, est semblable à celle utilisée pour un milieu monodisperse. Ils déterminent laforce de trainée, par unité de longueur, pour chacun des diamètres de fibres pour en déduire laforce totale.Il est possible d’utiliser les différents modèles de perméabilité, cellulaires ou EMA, pourdéterminer la force de trainée. Cela revient dans ce cas à considérer que les différentes catégoriesde fibres ont une contribution indépendante les unes des autres. L’exemple choisi par Bergmanet al. [9] va permettre de l’illustrer. L’indice 1 désignera le premier type de fibre et l’indice 2 lesecond. À partir de l’équation (1.8), nous obtenons :∆P = l f1 F d1 e + l f2 F d2 e = ∆P 1 + ∆P 2Il est possible de décomposer la chute de pression en une contribution des fibres 1 et d’unecontribution des fibres 2, soit respectivement ∆P 1 et ∆P 2 . Le médium est équivalent à deuxmédia fibreux en série. Chacun de ces média possède la même épaisseur et la fraction volumiquepartielle φ i . Si nous avons, φ 1 = φ 2 = 0, 5, si l’hypothèse d’additivité de la contribution dechacune des couches est exacte, alors, la fraction volumique totale du médium serait φ = 1. Cemédium est imperméable, et la chute de pression est celui de la pression atmosphérique. Parcontre, aucun des deux média en série n’est imperméable. La chute de pression totale est alorsla somme de chacun de ces média.Bergman et al. [9, 10] et Li et Park [78] tiennent compte de l’interaction des fibres entreelles. Bergman et al. proposent d’augmenter la fraction volumique par le rapport l fl fi, avec l f quidésigne la longueur de fibre par unité de volume, soit :∆P = ∑ ( )l fel fi F di φ ilifiIl est possible de déterminer le rayon R e équivalent dans le cas du modèle de Davies :Avec :φ 3 2R 2 e=( ∑iφ iR 2 i) 1 ( )2∑ φ iR iiφ = ∑ iφ i et l f = ∑ il fiLi et Park [78] déterminent la force totale de traînée. La force de traînée est calculée selonle modèle EMA. La prise en compte de l’interaction des autres fibres est intrinsèque à cetteapproche. Elle intervient par la résolution d’une équation implicite de la perméabilité. Ainsi, lesauteurs déterminent la force totale de trainée :∫F t = Sel f (R)F d (a, R, k)dRavec k la perméabilité du milieu fibreux. La force de trainée par unité de longueur dépend durayon de la fibre, R, du ratio a entre le rayon de l’enveloppe avec le rayon de la fibre, et de la38
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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Lirela seconde partiede la thèse
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