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1.3. Choix du modèle de perméabilitéSanganis et Acrivos [114] résolvent les équations de Stokes pour une cellule carrée et hexagonalepour un écoulement perpendiculaire(aux fibres.)– Cellule carrée : k = 18φ− ln φ − 1, 476 + 2φ − 1, 774 φ22 + 4, 076φ3 + O(φ 4 )()– Cellule hexagonale k = 18φ− ln φ − 1, 490 + 2φ − φ22 + O(φ4 )Modèle de Spielman et Goren, Approximation des Milieux EffectifsDans les modèles de cellule unitaire, l’écoulement autour d’une fibre est déterminé afin d’endéduire la perméabilité du milieu fibreux. Or, ces modèles ne prennent pas en compte l’influencede l’environnement (autres fibres) sur l’écoulement autour d’une fibre.Les modèles que nous allons présenter dans cette partie vont prendre en compte l’influencedes autres fibres par l’intermédiaire de l’équation de Brinkman [78] adimensionnée. L’influencedes fibres voisines sur l’écoulement est prise en compte en ajoutant un terme supplémentaire àl’équation de Stokes : ∇ ¯P = ∇ 2 ū − α 2 ū, où α = R √k. k représente la perméabilité associée auxfibres voisines.Nous allons présenter deux modèles de perméabilité qui reposent sur cette équation : lemodèle de Spielman et Goren pour les milieux fibreux [118] et le modèle basé sur l’approximationdes milieux effectifs (EMA), proposé par Li et Park [78].Le modèle de Spielman et Goren est un cas particulier du modèle EMA. Nous présenteronsdonc le modèle EMA pour le cas d’un écoulement parallèle ainsi que pour la cas d’un écoulementperpendiculaire aux fibres.Fig. 1.29 – Représentation de la cellule pour le modèle EMA.La figure 1.29, représente la géométrie représentative du modèle EMA. Dans la proximité dela fibre, nous avons un écoulement de Stokes. Dans cette zone, les autres fibres du milieu poreuxn’ont pas d’influence sur l’écoulement. Dans la zone plus éloignée, pour r > aR, les autres fibresinfluent sur l’écoulement. Elles sont considérées intervenir comme un milieu poreux qui possèdeune perméabilité. L’équation de Brinkman est alors utilisée.Le coefficient a peut être déterminé par plusieurs méthodes :– a dépend directement de la porosité du milieu, par exemple a = 1 √ φ35
Chapitre 1. Médium Plan– Pour les faibles porosités, l’influence des fibres voisines n’est pas représentée uniquementpar la porosité. Dodd et al. [33] ont pris en compte cet aspect (cité par Li et Park [78]).– a=1 correspond au modèle de Spielman et Goren.La transition entre les deux types d’écoulement est réalisée grâce à la continuité des vitesseset des contraintes tangentielles et normales.Fibres parallèles à l’écoulement Il est nécessaire de résoudre l’équation de Brinkman pour¯r > a, avec ¯r = r R, pour un écoulement parallèle à la fibre. Soit, après adimensionnement desvariables :(1 d¯r dū )= d ¯P¯r d¯r d¯r d¯z + α2 ū (1.11)où les variables avec une barre sont adimensionnées : ū = u u fet ¯P = Rµu fPLa résolution de l’équation différentielle (1.11) permet de déterminer la vitesse :ū = CI 0 (α 2 ‖¯r) + DK 0(α 2 ‖¯r) − 1 α 2 ‖I 0 et K 0 sont les fonctions de Bessels modifiées à l’ordre 0 de première et seconde espècerespectivement et α ‖ = 1k ‖.Pour 1 < ¯r < a, nous avons :ū = ¯r24d ¯Pd¯z+ A ln ¯r + BA, B, C et D sont des constantes d’intégration. Celles-ci sont déterminées grâces aux conditionsaux limites en ¯r = 1, ¯r = a et pour la limite en ¯r en l’infini. Voir de Li et Park [78] pourplus de détails.Il est possible alors de déduire la force de trainée F d , par unité de longueur, de l’écoulementsur le cylindre :¯F d = 2π dū∣d¯rLa chute de pression est alors reliée à F d comme pour les milieux cellulaires, voir équation(1.8). Ainsi, l’expression de la perméabilité d’un médium avec les fibres parallèles à l’écoulements’écrit :∣r=1d ¯Pd¯z(11 − 1 ) ()1=2 1 − ε α‖2 − 1 4 + a24 − a22 ln a α ‖ aK 1 (α ‖ a)K 0 (α ‖ a) + α ‖ aK 1 (α ‖ a) ln a + a22(1.12)Nous obtenons ainsi une fonction implicite de la perméabilité, avec K 1 est la fonction deBessel modifiée à l’ordre 1 de seconde espèce. Le cas de Spielman et Goren correpond au casparticulier a = 1. Dans ce cas, l’equation (1.12) se simplifie pour donner :11 − ε = 2K 1(α ‖ )α ‖ K 0 (α ‖ )(1.13)36
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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Lirela seconde partiede la thèse
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