PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

Chapitre 2.Échelle du pliLa méthode est identique pour déterminer l’équation de conservation de la quantité de mouvement.Nous obtenons à partir de l’équation (2.12), l’équation suivante :[∫1 1 ( ) ] dūf ′2 − f ′′ 2f dz m2 0d¯x + d ¯P md¯x − 1 f ′′ (1) ūmRe 0¯h 2 (¯x) − 1 d 2 ū mRe 0 d 2¯x+ 1 [∫ 1 ( ) ]f ′2 − 2f ′′ d¯hf dz2 01¯h d¯xū2 m − 2 1 d¯h dū mRe 0¯h d¯x d¯x− 1 1 d 2¯hRe 0¯h d¯x 2 ūm − 1 (1 d¯hRe 0¯h 2 2 + f ′′ (1) − 2 d¯h )ū m = 0 (2.24)(¯x) d¯xd¯xDans le cas ¯h(¯x) = 1 l’équation (2.24) se simplifie pour donner l’équation (2.18) relative àl’écoulement dans un canal à hauteur uniforme.Équations dans le pli d’entréeÀ partir des équations (2.8) et (2.9), Terrill obtient le système d’équations différentiellessuivant pour une vitesse de filtration uniforme le long du canal :{∂ 2 ¯P∂¯x∂ȳ= 0[ ]f ′′′ + Re w (f ′ ) 2 − ff ′′ (2.25)= csteDans le cas des grands Reynolds de filtration, pour l’aspiration pariétale, Terrill obtientalors :f = 1 + 1Re f 11w−1 1 + f(Re w−1) 2 2 + f(Re w−1) 3 3z = 1 − ȳf 1 (z) = 1 − e −Rewz − Re w zf 2 (z) =f 3 (z) = ( − 1 2 Re2 wz 2 − 3Re w z ) e −Rewz + 3Rew(1−z−e−Rewz )Re w−1e −Rewz ( − 1 8 Re w 4 z 4 − 3 2 Re w 3 z 3 − 8Re 2 w z 2 − 22Re w z )+ 1 4 e−2Rewz + RewRe wz−1( 11−11z2− 11e −Rewz) (2.26)Pour déterminer les différents termes de l’équation (2.18), nous utilisons les résultats (2.26).Au premier ordre 1, nous obtenons :∫ 10( )f ′2 − f ′′ 1f dȳ = −Re w − 1∫ 10f ′′1 dȳ (2.27)Nous obtenons alors, après un développement de Taylor et utilisation de l’équation de conservationde la masse (2.15), l’équation de conservation de la quantité de mouvement pour le plid’entrée :− 1 d 2 ū mRe 0 d¯x 2 + d ¯P md¯x = 0 (2.28)1Nous réalisons cette fois-ci un développement à l’ordre 2 enRe w−1, pour obtenir :∫ 10( )f ′2 − f ′′ 1f dȳ = −Re w − 1∫ 10f ′′1 dȳ +∫1 1(Re w − 1) 20[f ′21 − f ′′2 − f ′′1 f 1 ]dȳ (2.29)Ce qui nous permet de déterminer par un développement de Taylor l’équation de conservationde quantité de mouvement à l’ordre 2 :80