PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

1.3. Choix du modèle de perméabilitéSanganis et Acrivos [114] résolvent les équations de Stokes pour une cellule carrée et hexagonalepour un écoulement perpendiculaire(aux fibres.)– Cellule carrée : k = 18φ− ln φ − 1, 476 + 2φ − 1, 774 φ22 + 4, 076φ3 + O(φ 4 )()– Cellule hexagonale k = 18φ− ln φ − 1, 490 + 2φ − φ22 + O(φ4 )Modèle de Spielman et Goren, Approximation des Milieux EffectifsDans les modèles de cellule unitaire, l’écoulement autour d’une fibre est déterminé afin d’endéduire la perméabilité du milieu fibreux. Or, ces modèles ne prennent pas en compte l’influencede l’environnement (autres fibres) sur l’écoulement autour d’une fibre.Les modèles que nous allons présenter dans cette partie vont prendre en compte l’influencedes autres fibres par l’intermédiaire de l’équation de Brinkman [78] adimensionnée. L’influencedes fibres voisines sur l’écoulement est prise en compte en ajoutant un terme supplémentaire àl’équation de Stokes : ∇ ¯P = ∇ 2 ū − α 2 ū, où α = R √k. k représente la perméabilité associée auxfibres voisines.Nous allons présenter deux modèles de perméabilité qui reposent sur cette équation : lemodèle de Spielman et Goren pour les milieux fibreux [118] et le modèle basé sur l’approximationdes milieux effectifs (EMA), proposé par Li et Park [78].Le modèle de Spielman et Goren est un cas particulier du modèle EMA. Nous présenteronsdonc le modèle EMA pour le cas d’un écoulement parallèle ainsi que pour la cas d’un écoulementperpendiculaire aux fibres.Fig. 1.29 – Représentation de la cellule pour le modèle EMA.La figure 1.29, représente la géométrie représentative du modèle EMA. Dans la proximité dela fibre, nous avons un écoulement de Stokes. Dans cette zone, les autres fibres du milieu poreuxn’ont pas d’influence sur l’écoulement. Dans la zone plus éloignée, pour r > aR, les autres fibresinfluent sur l’écoulement. Elles sont considérées intervenir comme un milieu poreux qui possèdeune perméabilité. L’équation de Brinkman est alors utilisée.Le coefficient a peut être déterminé par plusieurs méthodes :– a dépend directement de la porosité du milieu, par exemple a = 1 √ φ35