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2.2. Modèle d’écoulement dans les plisOu encore :⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩− π 8− π 81 dū 2 m 12 d¯x − 1d 2 ū m1Re 0− 2d¯x 2Re w1Re 0dū 2 m 2d¯x + π2Re 0γū m2 − 1Re 0d 2 ū m21 dū 2 m 12 d¯x − 1dū m1d¯xd 2 ū m1Re 0− 2d¯x 2 dū m2d¯xdū 2 m 2d¯x + π2Re 0γū m2 − 1Re 0d 2 ū m2d¯x 2dū m1d¯x + Rew 1Re 0= 0Re 0ū m1 + d P ¯ m1d¯x= 0¯Pm1 −− Re 0¯k ¯P m2ē= 0dū m2d¯x − Rew 1+ d P ¯ m2d¯x 2Re 0= 0d¯x= 0+ Re 0¯k ¯P m1 − ¯P m2ē= 0Re 0dū m1 + d P ¯ m1d¯x= 0− Re 0¯k ¯P m1 − ¯P m2ē= 0+ d ¯P m2d¯x= 0Pour le pli à section variable, nous obtenons le système suivant :⎧[ ( ( ) )] 21 − 1 1 + d¯h12¯h 1 d¯xdū m1d¯x + ¯h 1 d¯h 11 (¯x) d¯x ūm 1+ 1[(dū 2 m 1d¯x + ¯h 1 d¯h 1 31 d¯x 2(1 − ¯h 1 + d¯h11 d¯x¯Pm1 −Re ¯h 1 0¯k ¯P m2ē) )] 2= 0ū 2 m 1(2.36)(2.37)⎪⎨⎪⎩π 28dū 2 m 2d¯x − 1− 1¯h 2 11Re 0[¯h 1 + 1 +(d¯h1d¯x) 2+ ¯h1d 2¯h 1d¯x 2 ]ū m1dū m1d¯x − 1Re 0d 2 ū m1− 2 1 d¯h 1Re 0 ¯h 1 d¯xdū m2d¯x + ¯h 12 (¯x)d 2 ū m2Re 0+ 3π2 1 d¯h 2d¯x 2 16 ¯h 2 d¯x ū2 m 2− 2 1 d¯h 2[ ( Re 0 ¯h 2 d¯x( ) ) 2+ 1 1 π 2 d¯h2Re 0 ¯h 2 4 d¯x + 1 − ¯h d 2¯h 2 2 d¯x 22+ d P ¯ m1d¯x 2d¯x= 0d¯h 2d¯x ūm 2− ¯h 1 ¯Pm1 −Re20¯k ¯P m2e= 0dū m2d¯x+ d ¯P m2d¯x]+ π ¯h 2 2 γ ū m2 = 0(2.38)Conditions limitesLa filtration est réalisée à débit constant, c’est pourquoi, nous imposons comme conditiond’entrée le débit. En sortie, nous imposons une pression de référence.Lors du plissage du médium fibreux celui-ci est compressé. N’ayant pas d’information surl’impact exact de la compression, nous avons étudié deux configurations :– Le fond des plis est imperméable. Les conditions aux limites sont alors ū m1 (0) = 1,ū m1 (¯L) = 0, ū m2 (0) = 0 et ¯P m2 (¯L) = 0– Le fond des plis est poreux. Les conditions limites sont alors : ū m1 (0) + ū m2 (0) = 1,ū m1 (¯L) + ū m2 (¯L) = 1, ¯Pm2 (¯L) = 0. Nous utilisons la loi de Darcy pour déterminer lesautres termes : ū m2 (0) ainsi que ū m1 (¯L). On peut noter qu’il est possible d’appliquer uneépaisseur et une perméabilité pour le fond des plis différentes de celles du reste du médiumfibreux.Discrétisation des équations et méthode de résolutionConcernant la discrétisation, nous utiliserons une méthode aux différences finies et un schémaamont pour les dérivées d’ordre 1 [1]. Le maillage de la vitesse est décalé par rapport à celui dela pression [1], comme cela est illustré sur la figure 2.30.83
Chapitre 2.Échelle du pliFig. 2.30 – Schéma de discrétisation84
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Page 144: Lirela seconde partiede la thèse
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