PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

1.3. Choix du modèle de perméabilitéPour résoudre l’équation de Stokes pour des fibres perpendiculaires à l’écoulement, figure1.27(a), les auteurs ont recourt à la fonction de courant Ψ. Ainsi, l’équation de Stokes devient :∇ 4 Ψ = 0 (1.7)La fonction de courant Ψ = ( Ar + B r + Cr ln r + Dr3) sin θ, est solution de l’équation 1.7 etles constantes A, B, C et D sont déterminées grâce aux conditions aux limites et la condition deconservation du débit à travers la cellule. On obtient ainsi :HappelKuwabaraJA − 1 a 4 −11−a2J 21+a 4 2a 21 aB 42a2J 2 −11+a 4 4a 2JC J JD − 1 12J − 1 J(1+a 4 )42a 2 −1 (lnJ ln a + 1 2 − a41+a a −34 4 + 1 − 1 ) −1()a 2 4a 4ak 24ln a + 1 2 −( a4 a 21+a 4 4 ln a −34 + 1 − 1 )((a 2 4a 4 )k pour a 2 = 1 1φ 4φ− 1 2 ln φ + 1 φ 2 −1 124φ− 1 2 ln φ − 3 4 + φ − φ241+φ 2 )À partir de l’expression de la pression, nous pouvons déduire F d la force de trainée par unitéde longueur de fibre. Celle-ci est alors reliée à la chute de pression pour un médium d’épaisseure, et une longueur l f de fibre par unité de volume par [17, 52, 72] :∆P = F d l f e =φeπR 2 F d (1.8)Pour une fibre parallèle à l’écoulement, l’équation adimensionnelle de Stokes s’écrit, grâceaux différentes symétries du problème, sous la forme suivante :dpdz = d2 u zdr 2 + 1 du zr drLa résolution de l’équation ci-dessus permet d’écrire, en tenant compte des conditions auxlimites :Le gradient de pression s’écrit alors :r 2 − 1 − 2a ln ru z =2a ( 2 34 − 1 + 1 − ln a )a 2 4a 4dpdz = 2a ( 2 34 − 1 + 1 − ln a )a 2 4a 4avec z, la coordonnée dans le sens de l’écoulement, parallèle à la fibre.Nous en déduisons alors la perméabilité adimensionnelle pour un média fibreux dont les fibressont parallèles à l’écoulement :k = a22(ln a − 3 4 + 1 a 2 − 14a 4 )Avec a = 1 √ φ, nous en déduisons alors la perméabilité.(1.9)33