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1.3. Choix du modèle de perméabilitéun grammage et une épaisseur totale du bicouche différents de la simple somme des grammages etdes épaisseurs de chacunes des couches. En d’autres termes, on ne connait en fait pas l’épaisseuret le grammage respectif de chacune des couches une fois celles-ci mises en place dans le bicouche.1.3 Choix du modèle de perméabilitéIl existe un nombre significatif de modèles permettant de prédire la perméabilité d’un milieufibreux. Nous allons tout d’abord présenter différents modèles de perméabilité, puis les confronteraux résultats expérimentaux.1.3.1 Aperçu bibliographique sur l’estimation de la perméabilitéLa perméabilité d’un milieux fibreux dépend de différentes caractéristiques. Dans le cas d’unmédium fibreux mono-disperse, il est en général possible d’adimensionner la perméabilité parle carré du rayon des fibres. Cette perméabilité adimensionnée, ¯k, ne dépend alors que de laporosité [17], pages 29 à 72.Nous allons présenter, dans cette partie, différents modèles permettant de déterminer laperméabilité adimensionnée ¯k en fonction de la porosité, ε et éventuellement de l’orientation desfibres par rapport à l’écoulement.Dans l’aperçu bibliographique destiné à déterminer la perméabilité de milieu monodisperseen diamètre de fibre, nous désignerons la perméabilité adimensionnée par k afin d’alléger lesnotations.fibre mono-disperseApproche expérimentale Le modèle que Davies [29], cité par Thomas et al. [122], Bergmanet al. [9] ou encore par Jackson et James [60], a proposé est un modèle empirique qui s’appuie surun grand nombre de résultats expérimentaux pour des média fibreux placés dans un écoulementd’air. Les fibres utilisées sont, entre autres, des fibres de coton, de laine de verre, capoc, duvet.Pour ces matériaux, le diamètre des fibres était compris entre 0, 8µm et 40µm. L’auteur préciseque la formule ne convient pas pour des écoulements dont le Reynolds est supérieur à 1.4k =, pour 0, 006 < φ < 0, 3 ⇔ 0, 7 < ε < 0, 99464φ 3 2 (1 + 56φ 3 )où φ est la fraction volumique de fibre du milieu poreux. Nous avons alors : φ = 1 − ε.Par la suite, Rahli et al. [107] se sont aussi intéressés à la perméabilité de milieux fibreux.Ils ont étudiés des milieux poreux constitués par un empilement aléatoire de fibres rigides. Leurétude a permis de déterminer l’impact du rapport d’aspect des fibres. Pour un rapport d’aspectL fd fsupérieure à 25, la contribution des surfaces de bases devient inférieure à 2%. L f représentela longueur de la fibre. Au-delà, la perméabilité est indépendante du rapport d’aspect des fibres.Dans cette configuration, c’est la surface latérale de la fibre qui contribue à la perméabilité dumilieu. Par ailleurs, une loi empirique déterminant l’évolution de la perméabilité en fonction dela porosité est déterminée pour des porosités comprises entre 0,35 et 0,9 :k =250ε 6φ 2 (3, 6 + 56, 4ε) 2 31
Chapitre 1. Médium PlanApproche Cellulaire Afin de déterminer la perméabilité de milieu fibreux, un certain nombrede modèles analytiques considérent que le milieu fibreux est composé par un ensemble de cellulesunitaires contenant une fibre. Ainsi, au lieu d’étudier l’écoulement dans l’ensemble du milieufibreux, il suffit de s’intéresser à l’écoulement dans une cellule unitaire. L’étude de l’écoulementdans une cellule unitaire permet de déduire la perméabilité du médium poreux. Cette approche aété choisie par de nombreux auteurs, dont, Happel [52], Kuwabara [72], Drummond et Tahir [34],Sangani et Acrivos [114]. La différence entre ces modèles est essentiellement due aux conditionsaux limites imposées à la cellule unitaire, ainsi qu’à la géométrie de celle-ci. Nous présenteronsplus en détail, dans la suite de ce document, les modèles de Happel et de Kuwabara. Celapermettra de mieux comprendre par la suite le modèle de milieu effectif.(a) Écoulement perpendiculaire à la fibre(b) Écoulement parallèle à la fibreFig. 1.27 – Représentation d’une cellule unitaire.La cellule unitaire étudiée dans le cas de Kuwabara et Happel est représentée par la figure1.27(a) dans le cas d’écoulement perpendiculaire aux fibres, et par la figure 1.27(b) pour le casde l’écoulement parallèle aux fibres. Le nombre de Reynolds de la fibre est faible, c’est pourquoi,un écoulement de Stokes est considéré dans la cellule unitaire. Le rayon de la cellule unitaire,aR, dépend de la porosité du milieu fibreux. Pour un arrangement régulier de fibre, le coefficienta dépend de la porosité, soit : a = √ 1φ. Par la suite, nous verrons, pour les modèles de milieueffectif, que le coefficient a peut être évalué selon plusieurs méthodes.Les conditions aux limites sont les suivantes :– Condition de non-glissement à la surface de la fibre. Pour, le cas des nano-fibres, où lenombre de Knudsen n’est plus négligeable, des conditions de glissement peuvent être utilisées[17] pages 29–72.– À la surface de la fibre, la composante normale de la vitesse est nulle.– À la frontière de la cellule unitaire, la condition est différente selon le modèle choisi. Eneffet, il n’y a, a priori, pas de conditions physiques qui puissent être appliquées aisément :321. Happel : les contraintes tangentielles sont nulles2. Kuwabara : la vorticité est nulle
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2.4. Exploitation du modèleFig. 2.
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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