PDF (Intro, Chapitre 1, 2) - Les thèses en ligne de l'INP - Institut ...

1.3. Choix du modèle de perméabilitéFibres perpendiculaires à l’écoulement Comme pour le modèle cellulaire, la fonction decourant est déterminée pour l’écoulement de Stokes et l’écoulement de Brinkman. Pour 1 < ¯r a :Ψ 2 =[¯r − Ā ]r + Bα ⊥K 1 (α ⊥¯r) sin θA, B, C et D sont des constantes d’intégration. Celles-ci sont déterminées grâces aux conditionslimites en ¯r = 1, ¯r = a et pour la limite en ā∞. Voir Li et Park [78] pour les détails.La force de traînée par unité de longueur, adimensionnée par µu f , est alors donnée par :F d⊥ =∫ 2π0(σ¯r¯r |¯r=1cos θ − σ¯rθ |¯r=1sin θ)dθ = 4πDoù D est la constante définie précédemment.On aboutit ainsi à une fonction implicite de la perméabilité pour des fibres perpendiculairesà l’écoulement :α 2 ⊥ = 4(1 − ε)α ⊥QAvec :[(−2α2⊥ a 2 + 3a 4 α⊥ 2 + 16a2 − α⊥2 )K1 (α ⊥ a) + 8a 3 α ⊥ K 0 (α ⊥ ) ] (1.14)Q = ( 16α ⊥ a 2 ln a − α 3 ⊥ ln a + α3 ⊥ a4 ln a − α 3 ⊥ a4 − α 3 ⊥ + 2a2 α 3 ⊥)K1 (α ⊥ a)+ ( −α 2 ⊥ + 16a2 + 4α 2 ⊥ a4 ln a − α 2 ⊥ a4 + 4α 2 ⊥ a2) K 0 (α ⊥ a)(1.15)Pour a = 1 (modèle de Spielman et Goren) l’équation (1.14) se simplifie pour donner :( )1α⊥ 2 = 4(1 − ε) 2 α2 ⊥ + α K 1 (α ⊥ )⊥K 0 (α ⊥ )Ecoulement dans un milieu fibreux tridimensionnel(1.16)À partir des résultats obtenus pour un écoulement bidimensionnel, il est possible de déterminerl’écoulement pour une structure tridimensionnelle par superposition du fait de la linéarité deséquations de Stokes et de Brinkman. Ainsi, Jackson et James [60] ont déterminé la perméabilitéde milieux fibreux tridimensionnels à partir des modèles bidimensionnels de Drummond et Tahir[34]. Li et Park [78] proposent une approche semblable.Higdon et al. [53] se sont intéressés aux écoulements dans des milieux fibreux particulierset calculent la perméabilité à partir de simulations numériques sur des géométries tridimensionnelles.L’arrangement tridimensionnel des fibres est représenté dans un cube. Les différentesgéométries étudiées sont :– Cubique simple– Cubique centrée– Cubique face centréeUne approche différente de toutes ces méthodes est l’approche de Lattice-Boltzman. De nombreusesétudes pour déterminer la perméabilité de médium fibreux et le colmatage de médiumfibreux ont utilisé cette méthode [47, 48, 74, 130].37