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2.2. Modèle d’écoulement dans les plisQue ce soit pour le pli d’entrée ou le pli de sortie, l’équation de conservation de la quantitéde mouvement s’écrit sous la forme suivante dans le cas d’un pli à ouverture uniforme :A dū2 mdx + Bū m − 1 d 2 ū mRe 0 dx 2 + d ¯P mdx = 0L’équation de conservation de la masse est de la forme :D dū mdx ± C( ¯P m1 − ¯P m2 ) = 0Soit alors les fonctions g 1 , g 2 , g 3 et g 4 définies par :g 1 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = dū m 1dx ± E( ¯P m1 − ¯P m2 ) (2.39)g 2 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = A dū2 m 1dx + B 1ū m1 − C 1ū m1 + d ¯P m1Re 0 Re 0 dx(2.40)g 3 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = dū m 2dx ± E( ¯P m1 − ¯P m2 ) (2.41)g 4 (ū m1 , ¯P 1 , ū m2 , ¯P m2 ) = A dū2 m 2dx + B 2ū m2 − C 2ū m2 + d ¯P m2Re 0 Re 0 dx(2.42)La mise en œuvre de la méthode de Newton-Raphson consiste à déterminer ū m1 , ¯P m1 , ū m2 et¯P m2 qui annulent les fonctions g 1 , g 2 , g 3 et g 4 . Pour cela, il est nécessaire de calculer les dérivées.La discrétisation de ces équations nous permet d’écrire le système suivant :⎧2A 1 ū m1i+12δū m1i+12−δū m1i−12δx+ B 1 δū m1i+12− 1Re 0δū m1i+32+δū m1i−12−2δū m1i+12δx 2+ δ ¯P m1i+1 −δ ¯P m1iδx= A 1ū 2 m 1i+ i2−ū 2 m 1i− i2δx+ B 1 ū m1i+12⎪⎨−C 1ū m1i+32+ū m1i−12−2ū m1i+12δx 2 +D 1δū m1i+i2−δū m1i−i2δx± C 1 (δ ¯P m1i − δ ¯P m2i ) = D 1ū m1i+12−ū m1i−12δx± C( ¯P m1i − ¯P m2i )¯P m1i+1 − ¯P m1iδx2A 2 ū m2i+12δū m2i+12−δū m2i−12δx+ B 2 δū m2i+12− 1Re 0δū m2i+32+δū m2i−12−2δū m2i+12δx 2+ δ ¯P m2i+1 −δ ¯P m2iδx= A 2ū 2 m 2i+ i2−ū 2 m 2i− i2δx+ B 2 ū m2i+12⎪⎩−C 2ū m2i+32+ū m2i−12−2ū m2i+12δx 2 +¯P m2i+1 −P 2iD 2δū m2i+i2−δū m2i−i2δx± C 2 (δ ¯P m1i − δ ¯P m2i ) = D 2ū m2i+12−ū m2i−12δx± C( ¯P m1i − ¯P m2i )(2.43)Les inconnues sont δU 1i+ 12, δU 2i+ 12, δP 1i , δP 2i . Ces inconnues sont déterminées par la résolutiondu système d’équations linéaires (2.43) à l’aide d’une méthode ditrecte. Les variables sontalors déterminées itérativement :⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ū n+1m 1= ū n m 1− δū m1¯P 1 n+1 = ¯P m n 1− δ ¯P m1ū n+1m 2= ū n m 2− δū m2¯P n+1m 2= ¯P n m 2− δ ¯P m285δx
Chapitre 2.Échelle du pliNous procédons itérativement pour déterminer la vitesse et la pression dans le pli d’entréeet de sortie. Le critère d’arrêt de ce système itératif est une très faible variation d’une itérationà une autre. L’exposant n correspond aux valeurs de l’itération actuelle et n + 1 à l’itérationsuivante. Pour le modèle à ouverture variable, la procédure est rigoureusement la même.2.3 Validation2.3.1 Sensibilité de la solution au maillageNous avons réalisé une étude de sensibilité au maillage. Pour cela, nous avons déterminéla différence en pourcentage de la chute de pression totale adimensionnée par rapport à unechute de pression de référence en fonction du nombre de mailles utilisées. Dans le premier cas,nous avons pris 2000 mailles comme référence et 2500 dans le second cas. Nous présentons deuxconfigurations distinctes : 51 mm de hauteur de pli et une densité de 12 plis/100mm ainsi que25 mm de hauteur de pli et une densité de 8 plis/100mm.Les résultats sont représentés sur les graphiques 2.31. Le graphique représente la différenceen pourcentage par rapport au maillage le plus fin en fonction du nombre de mailles par demi-pli.Fig. 2.31 – Différence en % de la chute de pression totale en fonction du nombre de mailleN b . Le premier graphique est pour une hauteur de pli de 51 mm et une densité de plissage de12 plis/100mm et le second pour une hauteur de pli de 25mm et une densité de plissage de 8plis/100mm. La vitesse de filtration moyenne est de 0,6m/s.Re 0 = 775, 6 et Re w = 84.2Par la suite, nous avons utilisé un maillage avec 200 ou 300 mailles, selon les circonstances.Il permet un bon compromis entre le nombre de maille et le temps de calcul. En effet, pour cenombre de mailles, l’écart par rapport au maillage référence est inférieur à 0,16%.2.3.2 Vérification du modèle à ouverture uniformeAfin d’obtenir une première validation du modèle ainsi obtenu, nous l’avons tout d’abordcomparé aux résultats théoriques de Terrill[119].¯P (¯x) = ¯P (0) + 1 (t2¯L − Re )w ¯L2 ū 22 Re 0 Rem(¯x)086La constante t dépend de l’écoulement et prend les valeurs suivantes :
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Page 144: Lirela seconde partiede la thèse
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