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1.3. Choix du modèle de perméabilitéperméabilité du milieux poreux. Les auteurs font l’hypothèse que le ratio a est le même pourtous les diamètres de fibres.Dans le cas de fibres perpendiculaires à l’écoulement, les auteurs trouvent :∫ +∞1k = 4(1 − ε) 0l f (R)D(R, k, a)dR∫ +∞(1.17)0l f (R)R 2 dRavec : D = α [(Q −2α 2 a 2 + 3a 4 α 2 + 16a 2 − α 2) K 1 (αa) + 8a 3 αK 0 (α) ] et α = √ R k.Pour une configuration où les fibres ont un rayon proche, il est possible d’utiliser le rayonmoyen des fibres, R m . L’équation (1.17) devient :Rm2 (k ≈ 4(1 − ε)D a, R )m√k1.3.2 Comparaisons des modèles aux résultats expérimentauxComparaison avec les modèles pour des structures tridimensionnellesLes média dont nous disposons ont une structure tridimensionnelle, comme l’ont montréles images 1.9, 1.10 et 1.11 respectivement aux pages 9,11 et 10. Nous comparons les résultatsexpérimentaux aux modèles de Davies, James et Jackson, Rahli et al. et Ford et Higdon, surles courbes de la figure 1.30. Les résultats de Higdon et Ford figurent sur le graphique par lesdésignations : FCC (cubique à faces centrées), BCC (cubique centré) et SC (cubique primitif).Sans les incertitudes sur la mesureAvec les incertitudes sur la mesureFig. 1.30 – Comparaison entre résultats expérimentaux et prédictions des modèles pour milieuxfibreux isotropes.La comparaison des résultats expérimentaux aux différents modèles de perméabilités montreque le modèle de Rahli et al. donne les résultats les plus proches. Le modèle demeure dans lamarge d’incertitude pour une porosité comprise entre 0, 81 et 0, 90. Cependant, en dehors de cetteporosité, le modèle n’est pas satisfaisant. Les autres modèles de perméabilité ne conviennent pas.Le modèle de perméabilité proposé par Jackson et James pour un médium isotrope est lacomposition d’un modèle avec fibres parallèles et d’un autre modèle avec fibres perpendiculairesà l’écoulement. Ce modèle ne convient pas.L’estimation de la perméabilité pour un milieu isotrope est obtenue en appliquant un principede superposition rendu possible par la linéarité des équations de Stokes et de Brinkman. Ainsi,pour une fibre ayant un angle γ avec l’écoulement, schéma 1.31, la force de traînée, par unité delongueur s’écrit sous la forme suivante :39
Chapitre 1. Médium PlanF d (γ) = F d⊥ (γ) sin γ + F d‖ (γ) cos γ (1.18)Fig. 1.31 – Décomposition de l’écoulement pour une fibre n’étant ni perpendiculaire ni parallèleà l’écoulementSi nous connaissons la distribution de probabilité, p(γ), de l’angle entre une fibre et l’écoulementpour un milieu fibreux, nous obtenons la force de traînée moyenne, F dm , par unité delongueur. Pour cela, on utilise l’équation (1.18) :F dm =∫ π20F d (γ)p(γ)dγ (1.19)Dans le cas d’un milieu fibreux isotrope, on déduit de l’équation (1.19) et de p(γ) la perméabilitéà partir de celles correspondant à des écoulements perpendiculaires et parallèles auxfibres. Soit :1k = 13k ‖+ 23k⊥(1.20)C’est pour cette raison que nous comparons les résultats expérimentaux aux modèles deperméabilité avec fibres parallèles et perpendiculaires à l’écoulement dans les deux sections cidessous.Nous déterminerons ensuite la perméabilité d’un médium isotrope, à partir des modèlesde perméabilités précédents, et nous les comparerons aux résultats expérimentaux.Comparaison avec les modèles pour fibres parallèles à l’écoulementLa figure 1.32 représente l’évolution de la perméabilité adimensionnée par le carré du rayonkdes fibres, , en fonction de la porosité, ε. Tous les résultats expérimentaux ainsi que lesR 2différents modèles avec écoulement parallèle aux fibres sont représentés.Les modèles de Spielman et Goren et EMA sont les seuls qui ont une perméabilité supérieureà celle des résultats expérimentaux. Les autres modèles prédisent des perméabilités inférieuresà celles obtenues expérimentalement.Le modèle EMA donne des résultats compris dans la marge d’incertitude des résultats expérimentauxpour quasiment toute la gamme de porosité. Les modèles de Kuwabara-Happel etDrummond et Tahir sont dans la marge d’incertitude des mesures pour une porosité compriseentre 0, 85 et 0, 94. Cependant, cela n’a aucune justification physique, puisque les images dumicroscope électronique à balayage ont montré qu’une part importante des fibres sont perpendiculairesà l’écoulement. Or, la perméabilité d’un médium avec des fibres perpendiculaire est plusfaible qu’un médium dont les fibres sont parallèles à l’écoulement. Ainsi, un médium composéd’un mélange de fibres parallèles et perpendiculaires devrait avoir une perméabilité plus faiblequ’un médium dont les fibres sont toutes parallèles à l’écoulement.40
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2.5. Conclusion sur l’étude de l
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