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2.4. Exploitation du modèle[dP mdx = 2 h 3 1 − 12h} {{ }C(x)− 1 h 3 [3A(x)( ( ) )] {dh2 [ }} {dh1 +dx dx + Re ( (w dh1 − xRe 0 dx + Re ))]wRe 0} {{ }≥0B(x)(2 − 1 ( ) )] {dh2 [ }} {1 +1 + Re ( )]w Rewx x − 2h dxRe 0 Re 0} {{ } } {{ }D(x)≥0≥0dhdx}{{}0≥00(2.48)Dans l’équation 2.48, les deux derniers termes sont les contributions visqueuses. Nous pouvonsremarquer qu’elles contribuent à augmenter le gradient de pression puisqu’elles sont positives.En effet, la conservation de la masse implique la relation : RewRe 0= 1 L. De plus, comme nous faisonsl’hypothèse que dhdhdxest constant, alors nous avons :dx = h S−1L. C’est pourquoi :Re w+ dhRe 0 dx = h SL > 0De plus comme x ≤ L, alors 1 − RewRe 0x = 1 − x L ≥ 0.Les deux premiers termes du membre de droite de l’équation (2.48) sont associés aux effetsinertiels. Tous deux, peuvent avoir un signe négatif à partir d’une certaine valeur de x. À présent,analysons ces différentes contributions. A = dhdx + Rewlinéaire de x. Pour x = 0, A(0) = dhdx + RewRe 0que A ≥ 0.( )Le terme B(x) = 1+ RewRe 0x RewRe 0x − 2( )double est L, donc B(x) = 1 + RewRe 0x RewRe 0x − 2 ≥ 0.Etudions à présent les signes respectifs de C(x) et D(x) :D’où :C(x) = 1 − 12h(1 +( ))Re 0(1 − x dhdx + RewRe 0est une fonction> 0. Et pour x = L, alors A = 0. Nous en déduisonsest un polynôme du second degré en x, dont la racine( ) )dh2≥ 0 ⇔ 1 + 2 dh ( ) dh 2dxdx x − ≥ 0dxC(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 2Si on définit β tel que β = ∣ dh∣ , alors :dxC(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 2( )dhdx − 1 dhdx( 1β − β )109
Chapitre 2.Échelle du pliNous trouvons pour D(x) :( 1β − 2β )D(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 3Ainsi, pour un médium plissé ayant une densité de plissage de 8 plis pour 100mm et unehauteur de pli de 51mm, nous obtenons la courbe 2.61. x 1 et x 2 représentent les valeurs de x,pour lesquelles C(x) et D(x) respectivement changent de signe.Fig. 2.61 – Evolution de la valeur de x l en fonction de δ pour un médium de 8 plis pour 100mmet 51mm de hauteur.Nous remarquons, sur le graphique 2.61, que les valeurs x 1 et x 2 sont très rapidement inférieuresà la hauteur du pli. Ainsi, pour δ en dessous de 0, 65 pour C et 0, 5 pour D, les valeurspour lesquelles C et D changent de signe sont inférieures à la longueur du pli.a. Vitesse de filtration u fm = 0, 45m/s. b. Vitesse de filtration u fm = 0, 25m/s.Fig. 2.62 – Évolution du gradient de pression du pli d’entrée, adimensionné par ρu2 0 , en fonctionde l’abscisse adimensionnée par h 0 , X, d’un médium plissé dans le cas d’une vitesse de filtrationuniforme. Densité de 8 plis pour 100mm, hauteur de pli 51mm et δ = 0, 5.110
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