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2.2. Modèle d’écoulement dans les plisL’étude de l’écoulement au sein de canaux ou tubes ayant une frontière poreuse regroupe bienentendu la filtration automobile avec les filtres à particules, à huile mais aussi le domaine desmoteurs de fusée et de missiles ou encore des systèmes biologiques, la filtration membranaire.Une première approche de la compréhension de ces phénomènes est réalisée en étudiant dessystèmes avec aspiration ou injection pariétale uniforme. Il n’est pas étonnant, dès lors quel’étude de l’écoulement dans des canaux ou tubes avec aspiration ou injection pariétale aitsuscité un intérêt. Ainsi, des travaux aussi bien théoriques, notamment avec la recherche desolutions analytiques affines et l’étude de leur stabilité, qu’expérimentaux ont été réalisés. Lapartie expérimentale cherche à étudier la structure de ces écoulements, entre autres, la transitiond’un écoulement laminaire vers un écoulement turbulent.Étant donnée que nous avons un nombre de Reynolds de filtration élevé, nous allons nousintéresser aux différentes problématiques de ces écoulements. Nous commencerons par la recherchede solutions affines dans un canal avec aspiration ou injection pariètale uniforme. Puisnous nous intéresserons à la stabilité de telles solutions. Nous évoquerons, pour le troisièmepoint, les comparaisons des solutions affines avec des résultats expérimentaux et simulationsnumériques. Enfin, en raison du nombre de Reynolds de canal élevé, nous terminerons par latransition de l’écoulement vers un écoulement turbulent.Solutions affines pour un écoulement avec apiration/injection pariètale Berman [11]a été l’un des premiers à déterminer analytiquement, par un développement asymptotique pourles faibles Reynolds de parois, Re w , une solution affine de l’écoulement dans un canal avecaspiration et injection pariétale uniforme. Lorsque le Reynolds de parois, Re w , tend vers 0, lasolution ainsi obtenue tend vers un écoulement de Poiseuille, comme le montre l’équation 2.6.Berman a choisi une configuration symétrique pour le pli avec une condition de non glissementà la paroi. Les Reynolds de parois positifs correspondent à une aspiration pariétale, et pour lesReynolds de parois négatifs à une injection.Les composantes longitudinales et transversales de la vitesse ainsi que le champ de pressionpour le modèle de Berman sont donnés par :u(¯x, ȳ) = 3 2 (1 − ȳ2 ) ( 1 − Rew420 (2 − 7ȳ2 − 7ȳ 4 ) ) u m (x)v(¯x, ȳ) = ( ȳ2 (3 − ȳ2 ) − Rew280 ȳ(2 − 3ȳ2 + ȳ 6 ) ) u fP (¯x, ȳ) − P (0, ȳ) = µ (h 0u0¯x − u f2 ¯x2) ( −3 + 8135 Re )(2.6)wu m (x) est la composante longitudinale moyenne de la vitesse, u f est la vitesse de filtration.x et y sont les coordonnées longitudinales et transversales. h 0 est la demi-ouverture du canal.Nous avons ¯x = x h 0et ȳ = y h 0. Et nous définissons u 0 = u m (0).De même, Yuan [132] s’est intéressé à l’étude d’écoulement dans des canaux avec injectionpariétale mais pour les grand Reynolds de filtration Re w . Une solution analytique a été déterminéesous l’hypothèse d’un écoulement laminaire. La composante longitudinale de la vitesse estune fonction sinusoïdale. Les équations décrivant l’écoulement sont :f(y) ={sin πy2h 0+ 1[πRe w 4()sin πy2h 0− πy2h 0cos πy2h 0∣ (∣ln ∣tan πy ∣∣ ∫πy2h4h 0+00) ]}θsin θ dθ − A y π πyh 0 4cos2h 0A = ∫ π2 θ0 sin θdθ − 1 ≈ 0, 83193u(x, y) = f ′ (y)u m (x)v(x, y) = f(y)u fP (x, y) − P (0, y) = µ xh 0(u 0 h 0− u ( ) ( )f x 2 π 22 h)4 − 2,049Re wRe w(2.7)59
Chapitre 2.Échelle du pliPar la suite, Terrill [120] a complété le travail de Yuan [132]. Les résultats de ce dernier correspondenten fait à la solution interne du développement asymptotique. Terrill propose la solutionexterne du développement asymptotique. Par ailleurs, Terrill travailla aussi sur la recherchede solution analytique pour un écoulement dans des canaux bidimensionnels avec aspirationpariétale uniforme pour les grands nombres de Reynolds de filtration [119]. La composante longitudinalede la vitesse est dans ce cas quasiment uniforme sur toute la section du canal, avecune décroissance exponentielle en proximité de la paroi.Stabilité des solutions affines Durlofsky et Brady [38] se sont intéressés à la stabilité dessolutions analytiques dans des canaux, aussi bien pour l’injection que pour l’aspiration. L’étudequ’ils ont menée montre que les solutions analytique obtenues, pour un canal avec aspirationou injection pariétale uniforme, sont des branches stables de solution sur toute la gamme deReynolds de filtration Re w . D’autres branches de solutions ont aussi été déterminées. L’analysede leurs stabilité a aussi été étudiée par la suite [46, 68, 27].Chellam et Liu [22] ont poursuivi l’étude de la stabilité de l’écoulement en incluant les effetsd’une vitesse de glissement pour des tubes et des canaux bidimensionnels. Les courbes de stabilitésont alors translatées mais leur stabilité n’en est pas modifiée. Pour mettre en évidence l’impactde la vitesse de glissement sur l’écoulement dans un canal avec aspiration pariétale uniforme, ilsdéfinissent Re T le nombre de Reynolds de filtration pour lequel le gradient de pression changede signe. Ce Reynolds de transition est intéressant du point de vue de la filtration membranaire,puisqu’il met en évidence la transition d’une situation favorable, avec un gradient de pressionnégatif, à une situation défavorable. Ainsi, lorsque le coefficient de glissement φ augmente, leReynolds de transition Re T diminue.Comparaison des solutions affines à des résultats expérimentaux et simulations numériquesRaithby et Knudsen [108] ont réalisé des simulations numériques par résolution deséquations de Navier-Stokes dans un canal avec aspiration et injection pariétale uniforme. Ilsont déterminé, numériquement, la distance d’établissement de l’écoulement dans un canal avecinjection pariétale. Les résultats montrent que la distance d’établissement diminue avec l’augmentationdu Reynolds de filtration, cependant, une longueur d’établissement minimal l e a étéétablie àleRe 0≈ 0, 02. Au delà de cette distance, l’écoulement est très proche de l’écoulementpleinement développé.Ils se sont aussi intéressés à un écoulement avec aspiration pariétale uniforme. Les résultatsnumériques montrent alors que l’écoulement garde la mémoire du profil imposé en entrée. Cerésultat est valable pour les différents profils de vitesse imposés en entrée, dont le profil devitesse uniforme. Une partie de ces résultats a été comparée à des résultats expérimentaux pourun Reynolds de filtration compris entre 10 et 20. Les résultats expérimentaux montrent quel’écoulement garde un profil de vitesse quasiment uniforme. La comparaison avec les résultatsnumériques montre également un bon accord.Ce résultat est comparable à ceux de Brady [16] pour des canaux de longueur finie. Il aainsi comparé les solutions analytiques affines aux résultats numériques avec un profil de vitesseuniforme en entrée du canal. En augmentant le nombre de Reynolds de filtration Re w , alors,l’effet des conditions imposées en entrée se propage de plus en plus profondément dans le canal.Ainsi, à partir d’un nombre de Reynolds de filtration Re w égale à 25, l’accord devient bonentre la solution analytique et le calcul numérique. Le profil uniforme est en fait solution affinedans le cas des grands Reynolds de paroi pour l’aspiration. Il réalise la même étude pour unprofil d’entrée parabolique. Dans ce cas, il y a peu de différence entre le calcul numérique et60
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N° d’ordre : 2541Thèseprésent
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discussions interminables au goût
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RésuméL’objectif de ce travail
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Table des matièresChapitre 4Colmat
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Table des matièresxii
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IntroductionNormes Date d’entrée
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Introductioncaptures des particules
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Introductionxviii
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NomenclatureP m (x) = 1 ∫ h(x)h(x
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Nomenclaturexxii
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Chapitre 1Médium PlanSommaire1.1 I
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