Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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102 Capitolo - 13 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici descrivere il comportamento del codificatore è quello di tener conto del fatto che l’uscita prodotta in un certo istante dipende oltre che dalla parola d’ingresso corrente anche dalla storia della sequenza d’ingresso, in particolare essa dipende dai ( ) bit d’ingresso che hanno preceduto la parola corrente. In altri termini, noti tali bit e i bit della parola corrente possono essere determinati univocamente, sia l’uscita corrente, sia i ( ) bit che contribuiranno unitamente alla parola d’ingresso successiva a determinare la parola d’uscita seguente. ( ) Osserviamo che esistono esattamente contenuti distinti per le celle del registro che costituiscono la memoria del sistema. Possiamo dire pertanto che il codificatore ( ) può assumere stati diversi (16 nel nostro esempio). L’arrivo di una parola d’ingresso comporta tipicamente una variazione del contenuto della memoria, quindi una variazione dello stato del sistema. In sostanza un codificatore convoluzionale è altro che una macchina a stati finiti. Gli stati del codificatore possono essere associati ai vertici di un grafo (vedi Esempio 3.1) due vertici vengono connessi tramite un lato se esiste una parola di ingresso che induce la transizione tra i due stati. Ad ogni lato potremo associare un’etichetta che contiene la parola d’ingresso ad esso relativa, ma anche la corrispondente parola di uscita che dipende dal vertice da cui il suddetto lato fuoriesce. Osserviamo che da ogni vertice origineranno e si dipartiranno esattamente lati, tanti quante sono le possibili parole d’ingresso (nel nostro esempio 4). Quindi ogni ( vertice è di grado ) . Il grafo è anche connesso in quanto, comunque scelti due vertici distinti, esiste sempre un percorso che li congiunge, osserviamo che tale percorso è costituito al più da ( ) lati. Il grafo relativo al codificatore di Fig.E 13.1 è mostrato in Fig.E 13.2 dove si sono utilizzati colori diversi per distinguere le parole d’ingresso associate ai lati. Nella stessa figura si sono indicate solo alcune Fig.E 13.2 - Grafo del codificatore mostrato in Fig.E 13.1 parole d’uscita per non pregiudicarne la leggibilità.
Codici Convoluzionali 103 Tracciato che sia il grafo del codificatore, per dato stato iniziale, si può valutare la sequenza codificata associata a una qualsiasi sequenza d’ingresso seguendo il percorso a essa individuato ed annotando le corrispondenti parole d’uscita. Ovviamente per sequenze molto lunghe, anche questa rappresentazione manifesta i suoi limiti, si pensi al caso in cui uno stesso lato compaia più volte nell’ambito di una stessa sequenza. 13.5 - Codici catastrofici Osserviamo che ogni codificatore convoluzionale associa alla sequenza d’ingresso nulla la sequenza nulla, ciò è un’immediata conseguenza della sua linearità. Il percorso associato alla sequenza di ingresso identicamente nulla nel grafo di Fig.E 13.2 consisterebbe nel percorrere infinite volte il ramo che emerge e termina nello stato zero. I rami che originano e terminano nello stesso stato vengono denominati self loop. Notiamo che lo stesso codificatore, partendo dallo stato zero, associa alla sequenza costituita solo da bit , la sequenza come possiamo notare tale sequenza seppur semi-infinita ha peso ; cioè, nonostante la sequenza di ingresso considerata sia quella a massima distanza dalla sequenza nulla, le rispettive sequenze codificate distano tra loro non più di indipendentemente dalla loro lunghezza. Il codificatore di Fig.E 13.1 è un in realtà un esempio di Codice catastrofico. Tale denominazione discende dal fatto che da un codificatore ci si aspetta, quantomeno, che al crescere della distanza di Hamming tra le sequenze d’ingresso (parliamo si sequenze semi-infinite) cresca anche quella tra le corrispondenti sequenze codificate. Il motivo per il quale il “nostro” codificatore è catastrofico risiede nella presenza di un selfloop che associa a una parola di peso non nullo la parola d’uscita nulla, sicché "ciclando" su questo ramo il peso della sequenza d’uscita non varia. Il codificatore fin qui utilizzato, malgrado sia catastrofico non perde la sua valenza che è puramente didattica. 13.6 - Trellis degli stati I limiti all’utilizzo del grafo per lo studio di un codice convoluzionale, sono essenzialmente legati al fatto che in questa rappresentazione non compare il tempo.
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