Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

96 Capitolo - 12 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
Per concludere si può facilmente verificare che la (10.11.1) è verificata come
uguaglianza per tutti i codici di Hamming risulta infatti:
da cui
⌊ ⌋ (12.1.2)
∑ ( ) (12.1.3)
ma per i codici di Hamming
all’insieme dei codici perfetti.
, i codici di Hamming appartengono pertanto
Esempio 12.1
Una possibile matrice
del secondo codice della Tabella 12.1, il 7,4,è data da:
Fig.E 12.1 - Schema a blocchi del Codice 7,4 di Hamming
Codice di Hamming 7,4
0000 000
0001 111
0010 011
0011 100
0100 101
0101 001
0110 110
0111 001
1000 110
1001 001
1010 101
1011 010
1100 011
1101 100
1110 000
1111 111
Tabella 12.2 - Parole del
codice Hamming 7.4
matrice
[ ]
Osserviamo che la matrice in
esame ha per colonne tutte le parole di
tre bit ad esclusione di quella costituita
da soli zero, ordinate in modo da
rispettare la (11.2.4).
Ricordiamoci che le prime quattro
colonne di possono essere permutate
tra loro senza che le caratteristiche
del codice cambino.
Basandoci sulla (11.2.4) e sulla
(11.1.1) potremo facilmente scrivere la
generatrice del codice:
[ ]
il relativo schema a blocchi è mostrato in Fig.E 12.1, la lista delle
parole del codice è elencata nella Tabella 12.2 dove ogni parola è stata
suddivisa tra contenuto informativo (i primi 4 bit) e controlli di parità
(gli ultimi 3).
Uno schema a blocchi del codice di Hamming 15,11 è mostrato in
Fig.E 10.1.
12.2 - Duali dei codici di Hamming
Nel caso dei duali dei codici di Hamming, le colonne
della loro matrice generatrice
sono tutte e sole le parole binarie
non nulle che si possono scrivere con
quindi esattamente
bit vi saranno
colonne nella matrice generatrice.
La matrice definisce quindi un codice ( ), le cui parole non nulle
hanno tutte peso .
zero e
Infatti ogni riga della matrice generatrice contiene per costruzione
bit uno. Le restanti parole del codice si ottengono combinando linearmente
bit