Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

144 Capitolo - 20 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
Definizione 20.2
Diciamo che un elemento è algebrico su
(
se esiste un polinomio ) ( ) di
che ha come radice, cioè tale che effettuando le operazioni in risulti
( ) ( ) .
Consideriamo ad esempio il campo dei razionali e la sua estensione (il
campo Reale) l’elemento √ è algebrico su in quanto il polinomio ha
√ tra le sue radici se lo si pensa come un polinomio appartenente a .
Osserviamo che l’insieme contenente i polinomi che hanno tra
le radici è un ideale di . Infatti, comunque scelto un polinomio in
moltiplicandolo per un qualunque polinomio di si ottiene ancora un polinomio che
ha tra le sue radici.
L’ideale deve ammettere quindi un polinomio generatore sia
( ) ( ) ,
osserviamo che esiste sempre un polinomio generatore che ha come coefficiente del
termine di grado massimo. Un tale polinomio sarà detto monico, da ora in poi quando
parleremo di polinomio generatore sottintenderemo che sia quello monico.
(
Il polinomio ) ( ) è irriducibile in , (non è detto che lo sia in ) in
quanto se così non fosse almeno uno dei fattori in cui potrebbe essere scomposto ammetterebbe
come radice. Tale fattore apparterrebbe quindi ad , ed avrebbe grado
(
inferiore a ) (
( ), ) ( ) non sarebbe quindi in grado di generarlo e perverremmo ad
un assurdo.
Da quanto sopra segue che esiste un unico polinomio generatore monico di che
è chiamato polinomio minimale di su .
Osserviamo che ogni elemento di è algebrico su . Inoltre è facile constatare
che se è finito ogni elemento di è algebrico sul suo sottocampo primo, in quanto
si annulla in virtù della (20.5.2) ⊗ .
Definizione 20.3
Diciamo che un polinomio irriducibile
( ) ( )
è primitivo se esso è fattore
di e non di con .
Vale il seguente teorema:
Teorema 20.3
Se
( ) ( ) è un polinomio irriducibile di l’elemento
( ) ( )
( ) ( ) è primitivo per
( ) ( ) se e solo se
( ) ( ) è un
polinomio primitivo.