Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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ii Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici 4.7 - L’Inverso del Teorema della Codifica di Canale ............................................... 40 Teorema 4.1 .............................................................................................................................. 43 Capitolo - 5 ........................................................................................................ 45 Cenni di Trasmissione Numerica ..................................................................... 45 5.1 - Scenario di Riferimento. ...................................................................................... 45 5.2 - Struttura del modulatore e del codificatore di sorgente ................................... 45 5.3 - Struttura del Ricevitore. ...................................................................................... 46 5.4 - La Regola di Decisione Ottima. ........................................................................... 47 5.5 - Il Criterio della Massima Verosimiglianza. ....................................................... 47 5.6 - Funzioni di Verosimiglianza. ............................................................................... 48 5.7 - Le Regioni di Decisione. ....................................................................................... 48 5.8 - L’Union Bound. .................................................................................................... 50 5.9 - Bound di Bhattacharrya. ..................................................................................... 52 5.10 - Bound di Gallager. ............................................................................................. 55 Capitolo - 6 ........................................................................................................ 57 Il Teorema di Shannon sulla Codifica di Canale ............................................ 57 6.1 - Premessa. ............................................................................................................... 57 6.2 - La Disuguaglianza di Jensen ............................................................................... 57 Definizione 6.1 .......................................................................................................................... 58 Definizione 6.2 .......................................................................................................................... 58 6.3 - Il Teorema di Shannon sulla Codifica di Canale. .............................................. 60 Teorema 6.1 .............................................................................................................................. 66 Capitolo - 7 ........................................................................................................ 69 Strutture Algebriche .......................................................................................... 69 7.1 - Gruppo .................................................................................................................. 69 7.2 - Anello ..................................................................................................................... 69 7.3 - Campo ................................................................................................................... 69 7.4 - Spazio vettoriale ................................................................................................... 69 Capitolo - 8 ........................................................................................................ 71 8.1 - Lo Spazio ........................................................................................................ 71 8.2 - Generalizzazione della distanza di Hamming .................................................... 72 Capitolo - 9 ........................................................................................................ 73 Codici Binari a Blocchi..................................................................................... 73 9.1 - Codificatore, Codice, Decodificatore .................................................................. 73 Definizione 9.1 - codificatore a blocchi .................................................................................... 73 Definizione 9.2 - codice binario a blocchi ................................................................................ 73 Definizione 9.3 - decodificatore ................................................................................................ 74 9.2 - Utilità della codifica di canale ............................................................................. 74 9.3 - La decodifica a massima verosimiglianza .......................................................... 76 Regola di decisione a Massima Verosimiglianza ...................................................................... 76
Indice iii 9.4 - Definizioni e teoremi sui codici rivelatori e correttori ...................................... 77 Definizione 9.4 ......................................................................................................................... 77 Definizione 9.5 ......................................................................................................................... 77 Teorema 9.1 .............................................................................................................................. 78 Definizione 9.6 ......................................................................................................................... 78 Teorema 9.2 .............................................................................................................................. 78 Capitolo - 10...................................................................................................... 81 Codici Lineari a Blocchi .................................................................................. 81 10.1 - Premessa .............................................................................................................. 81 10.2 - Morfismi .............................................................................................................. 81 Definizione 10.1 - omomorfismo.............................................................................................. 81 Definizione 10.2 - monomorfismo............................................................................................ 82 Definizione 10.3 - isomorfismo ................................................................................................ 82 10.3 - Schema di principio di un codice lineare a blocco ........................................... 82 10.4 - Matrice generatrice del codice .......................................................................... 83 10.5 - Distribuzione dei pesi di un codice lineare a blocco ........................................ 84 Definizione 10.4 ....................................................................................................................... 84 10.6 - Capacità di rivelazione di un codice lineare a blocco ...................................... 85 Teorema 10.1 ............................................................................................................................ 85 10.7 - Probabilità di non rivelazione d’errore di un codice lineare .......................... 85 10.8 - Laterali di un sottogruppo ................................................................................. 86 10.9 - Decodifica tramite i rappresentanti di laterale ................................................ 87 Teorema 10.2 ............................................................................................................................ 88 10.10 - Probabilità d’errore di un codice lineare a blocchi ....................................... 88 10.11 - Codici perfetti, bound di Hamming ................................................................ 89 Capitolo - 11...................................................................................................... 91 Codici Sistematici ............................................................................................. 91 11.1 - Codici Sistematici ............................................................................................... 91 11.2 - Matrice di controllo di parità ............................................................................ 92 11.3 - Codici duali ......................................................................................................... 93 11.4 - Decodifica basata sulla sindrome ...................................................................... 93 Capitolo - 12...................................................................................................... 95 Codici di Hamming e loro duali ....................................................................... 95 12.1 - Codici di Hamming ............................................................................................ 95 Esempio 12.1 ............................................................................................................................ 96 12.2 - Duali dei codici di Hamming ............................................................................. 96 12.3 - Codici ortogonali e transortogonali .................................................................. 97 Capitolo - 13...................................................................................................... 99 Codici Convoluzionali ...................................................................................... 99 13.1 - Premessa .............................................................................................................. 99 13.2 - Struttura del codificatore ................................................................................... 99
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