Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

36 Capitolo - 4 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
esso aggiunge alla variabile aleatoria generata dalla sorgente un disturbo costituito da
una variabile aleatoria Gaussiana a media nulla e varianza , statisticamente
indipendente dalla variabile aleatoria in ingresso.
L’informazione mutua associata al canale in questione è data da:
( ) ( ) ( )
∫ ( )
∫ ( )
( )
( )
∫ ∫ ( )
( )
(4.4.1)
∫ ( ) ∫ ( )
( )
Osserviamo che ( )
√
( )
in quanto differisce da per il solo
disturbo
la (2.2.3) otteniamo:
che abbiamo detto essere Gaussiano. Sostituendo nella (4.4.1) e ricordando
( ) ∫ ( )
∫ ( ) ( )
( )
(4.4.2)
∫ ( )
( )
( )
la capacità del canale in parola si ottiene quindi massimizzando l’integrale ad ultimo
membro della precedente, cioè l’entropia dell’uscita. Sappiamo (vedi § 2.2 - ) che il
massimo dell’entropia, a parità di varianza, si ottiene da una sorgente Gaussiana.
Affinché la ( ) sia Gaussiana, deve esserlo la variabile aleatoria . In questo
caso indicata con la sua varianza, in virtù dell’indipendenza tra ed si ha:
La capacità del canale Gaussiano è quindi data da:
(4.4.3)
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )
( )
(4.4.4)
Consideriamo adesso il canale AWGN (Addittive White Gaussian Noise) (vedi
Fig.E 4.4) cioè un canale con ingresso e uscita a tempo continuo che agisce sul segnale
d’ingresso sommando a quest’ultimo un segnale
stazionario Gaussiano a media nulla e densità spettrale di
potenza bilatera costante pari ad
Fig.E 4.4 - Canale AWGN
Come sappiamo ogni sistema di trasmissione è
affetto quantomeno dal rumore termico che si può modellare proprio con un processo
Gaussiano bianco.