Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

86 Capitolo - 10 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
La precedente presuppone la conoscenza della distribuzione dei pesi, purtroppo
detta funzione non è nota per molti dei codici d’uso comune, in questo caso può essere
utile una maggiorazione della (10.7.2) che si basa sulla considerazione che in ogni caso
deve essere:
( ) ( ) (10.7.3)
non possono cioè esservi più pattern d’errore di peso di quante non siano le parole di
aventi quel peso. Potremo quindi certamente scrivere:
( ) ∑ ( ) ( ) (10.7.4)
10.8 - Laterali di un sottogruppo
Premesso che in questo paragrafo per comodità utilizzeremo la notazione
moltiplicativa per indicare la legge di composizione di un gruppo, indicheremo quindi
con l’elemento neutro del gruppo, consideriamo un gruppo abeliano ed un suo
sottogruppo . Ricordiamoci che, per definizione di sottogruppo, è chiuso rispetto
alla legge di composizione di .
Consideriamo adesso un generico elemento non appartenente a , se
componiamo questo elemento con gli elementi di otteniamo un sottoinsieme di
disgiunto da . Se infatti risultasse che, per un qualche elemento di ,
, ciò implicherebbe che e quindi , ma se
allora essendo gruppo vi appartiene anche , contro l’ipotesi. viene denominato
laterale, coinsieme o coset di .
Consideriamo adesso, se esiste, un elemento che non appartiene né a né a ,
sia . Anche , composto con gli elementi di , genera un sottoinsieme di ovviamente
disgiunto da , ma anche da ; se infatti esistesse tale che ˜
, ciò implicherebbe ˜ che implicherebbe contro l’ipotesi.
Possiamo quindi concludere che i laterali di un sottogruppo se non sono disgiunti sono
coincidenti.
Appare chiaro che ogni sottogruppo di un gruppo induce una partizione in laterali
del sottogruppo. Si può facilmente verificare che tutti i laterali hanno la stessa
cardinalità del sottogruppo cui sono associati e che ogni elemento di un laterale,
composto con gli elementi del sottogruppo, è in grado di generare il laterale cui
appartiene. È quindi legittimo scegliere in corrispondenza ad ogni laterale un suo