Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Codici di Hamming e loro Duali 97
le righe della matrice generatrice, tale combinazione lineare, a ben vedere, consiste nel
cancellare un sottoinsieme di righe dalla matrice generatrice e sommare le restanti.
Per semplificare il ragionamento immaginiamo di aggiungere alla matrice una
colonna nulla, sia ˜ la matrice estesa così ottenuta. Osserviamo che le parole del codice
( ) generato da ˜ differiscono da quelle generate da solo per il fatto di avere un
bit in più, che essendo generato dalla colonna identicamente nulla, vale
sistematicamente . Possiamo quindi affermare che le parole corrispondenti dei due
codici, cioè generate dalla stessa parola di hanno lo stesso peso.
Osserviamo adesso che la cancellazione di una riga in ˜ da luogo ad una
sottomatrice ˜ ( ) che ha le colonne uguali a due a due; se cancellassimo due righe
avremmo una sottomatrice ˜ ( ) con colonne uguali a quattro a quattro e così via.
In generale quindi cancellando righe di ˜ , con 0 j k , avremo una
sottomatrice ˜ ( ) di righe con solo colonne distinte che non potranno essere
altro se non tutte le parole binarie di bit.
Il peso della parola di codice ottenuta componendo le righe di ˜ ( ) , è
uguale al numero di colonne che hanno un numero dispari di al loro interno. Ci si
convince facilmente che esattamente la metà delle colonne diverse tra loro hanno
peso dispari. Il peso della parola di codice ottenuta componendo le righe vale
, indipendente dal numero di righe cancellato, pur di non cancellarle
tutte, in questo caso otterremo la parola di codice nulla che ha peso .
Possiamo quindi concludere che la distanza minima per codici generati da matrici
di tipo ˜ , o da matrici di tipo vale , che è anche, la distanza tra due parole di
codice qualsiasi.
12.3 - Codici ortogonali e transortogonali
Immaginiamo di utilizzare un codice generato da una matrice del tipo ˜ ,
introdotta nel paragrafo 12.1 - , con una segnalazione di tipo antipodale, associando
cioè ai bit un impulso di segnalazione in banda base ( ) (la cui durata, per
semplicità possiamo pensare sia non maggiore dell’intervallo di segnalazione ), e ai
bit il suo opposto. Alla generica parola di codice verrà quindi associato il segnale in
banda base:
( ) ∑( ) ( ( ) ) (12.3.1)