Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 15
PRESTAZIONI DEI CODICI CONVOLUZIONALI
15.1 - Funzione di trasferimento di un codificatore convoluzionale.
I codici convoluzionali sono come abbiamo già detto lineari, nel senso che la
somma di due sequenze codificate è ancora una sequenza codificata, esattamente quella
che si otterrebbe codificando la somma delle due sequenze informative.
Ciò significa che possiamo valutare le prestazioni del codice in termini di
probabilità d’errore ammettendo che venga inviata la sequenza nulla e valutare la
probabilità che per effetto del canale venga rivelata dal decodificatore una sequenza
ammissibile diversa.
Per i nostri scopi è utile definire alcune grandezze associate al codificatore. La
prima è la cosiddetta distanza colonna ( ) essa è un’applicazione che associa ad
ogni livello di profondità del trellis del codice la minima distanza di Hamming
ottenibile dalla sequenza nulla prendendo in considerazione tutte le possibili sequenze
d’ingresso cui corrispondono percorsi sul trellis che si discostano da quello relativo alla
sequenza nulla a partire dall’istante iniziale. Il limite di ( ) per si chiama
distanza libera, , del codice. Il percorso cui corrisponde la distanza libera non è
necessariamente unico, ma certamente salvo il caso in cui il codice sia catastrofico è un
percorso che si discosta dalla sequenza nulla per poi ricongiungersi ad essa.
Sia la distanza colonna che la distanza libera possono in teoria essere calcolate
per ispezione diretta sul trellis del codice, ma è anche possibile ottenere la distanza
libera e molte altre informazioni sul codice procedendo in modo diverso.
Ci proponiamo in particolare di raccogliere informazioni sul numero di percorsi che
hanno origine e termine nello stato zero diversi da quello che da esso non si discosta
mai.
Per farlo consideriamo il
diagramma degli stati del
codificatore e sopprimiamo il
self loop associato allo stato
Fig.E 15.1 – Grafo modificato del Codice rate
zero sdoppiamo quindi lo stato
zero in due stati uno, sorgente, da cui fuoriescono i rami ed uno, pozzo con solo rami
entranti come in Fig.E 15.1. Nella stessa figura si può notare anche che i rami del grafo
sono stati etichettati con dei trinomi l’indeterminata vi compare sempre con grado ,