Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 7
STRUTTURE ALGEBRICHE
Al fine di introdurre il concetto di codice è opportuno ricordare alcune
definizioni:
7.1 - Gruppo
Un insieme
indicheremo con
non vuoto in cui si è definita una legge di composizione interna che
è un gruppo rispetto a tale legge se valgono le seguenti proprietà:
( ) ( )
(7.1.1)
Se la legge di composizione interna è anche commutativa
commutativo o abeliano.
è un gruppo
7.2 - Anello
Un insieme nel quale siano state individuate due leggi di composizione interna
che chiameremo addizione e moltiplicazione è un anello se:
- è un gruppo commutativo rispetto all’addizione;
- la moltiplicazione gode della proprietà associativa;
- vale la legge distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione sia a destra che
a sinistra.
Se la moltiplicazione gode anche della proprietà commutativa diremo che è un
anello commutativo, se esiste in l’elemento neutro per la moltiplicazione diremo che
è un anello con identità.
7.3 - Campo
Un insieme che sia un anello commutativo con identità è anche un campo se
privato dell’elemento neutro rispetto all’addizione è un gruppo commutativo rispetto
alla moltiplicazione.
L’insieme dei numeri razionali, l’insieme dei reali e l’insieme dei
complessi sono campi. Si verifica facilmente che anche l’insieme , effettuando
l’addizione senza riporto, cioè ponendo e con la usuale moltiplicazione in
è un campo che indicheremo con .
7.4 - Spazio vettoriale
Dato un gruppo abeliano ed un campo si dice che è uno spazio vettoriale
sul campo se si è individuata una legge di composizione esterna, detta prodotto per