Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

124 Capitolo - 16 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(16.2.3)
e
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∑
(16.2.4)
Nella precedente la sommatoria va ovviamente calcolata secondo le regole di , come
pure il prodotto al suo interno.
In sostanza abbiamo appena introdotto in l’addizione e la moltiplicazione.
Rispetto all’addizione è facile verificare che è un gruppo commutativo, inoltre la
moltiplicazione tra polinomi in è commutativa e distributiva rispetto all’addizione.
è pertanto un anello commutativo, con identità, che, ovviamente, coincide con
l’identità del campo , che indicheremo con .
Osserviamo che il prodotto tra polinomi non nulli è un polinomio non nullo. Si
ottiene il polinomio nullo se e solo se uno almeno dei due moltiplicandi è il polinomio
nullo. Vale cioè anche la legge di annullamento del prodotto.
Quanto detto comporta tra l'altro che i polinomi
sono
linearmente indipendenti su .
16.3 - Spazi di polinomi
Consideriamo adesso il sottoinsieme
( )
di
costituito da tutti i
polinomi di grado minore di . La somma di due elementi di
( )
è ancora un
elemento di
( )
. Inoltre moltiplicando un qualunque elemento di
( )
per
un elemento di
, che coincide con
( )
, otteniamo ancora un elemento di
( )
.
( )
è quindi uno spazio vettoriale su e che la sua dimensione è in
quanto generabile tramite i suoi elementi linearmente indipendenti .
Ci si convince facilmente che detto spazio vettoriale è isomorfo allo spazio
costituito da tutte le -uple ordinate di elementi di , basta infatti associare al
(
polinomio ) ( ) ( ) , l’elemento a se ,
ovvero l’elemento
se