Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Prestazioni dei Codici Convoluzionali 117
Ciò, detto in altri termini, equivale a calcolare la probabilità che, a causa del
rumore introdotto dal canale BSC, la porzione di sequenza
rivelatore a soglia, per il decodificatore hard (la porzione
( ) in uscita al
( ) di campioni in
uscita al filtro adattato per quello soft) corrispondente alle sezioni del trellis che
contengono i due cammini e , , appartenga alla regione di decisione di
malgrado sia stata inviata la sequenza identicamente nulla, corrispondente a
Ci si convince facilmente che la somma di tutte le probabilità appena descritte
maggiora la probabilità d’errore di nodo, in quanto quest’ultima rappresenta la
probabilità dell’evento unione tra tutti quelli associati ai possibili primi eventi d’errore
sopra descritti.
Detto ̅ il complementare della regione di decisione del cammino corretto
nell’ipotesi che il decisore sia chiamato a scegliere tra e , possiamo scrivere:
∑ (
( )
̅
( )
) (15.2.1)
Nel caso di decodifica hard, è opportuno osservare che ai fini del calcolo della
probabilità che compare ad argomento della sommatoria nella (15.2.1), non
contribuiscono i bit codificati di uguali a quelli di (cioè i bit nulli di ), in
quanto quale che sia il corrispondente bit della sequenza ricevuta esso apporterebbe un
eguale contributo alle distanze di
( ) da entrambi i cammini e .
Indichiamo adesso con ( ) il peso del cammino . Osserviamo che se ( ) è
dispari, posto ⌊ ( ) ⌋ , il decodificatore sceglierà il cammino ogniqualvolta
risulti:
(
( )
) (15.2.2)
La probabilità che ciò accada, condizionata all’invio della sequenza nulla è data da:
( ̂ ( ) ( ) )
( )
( )
( (
)
)
( ) (15.2.3)
∑ ( ( ) ) ( ) ( )
dove ̂ ( ) indica il cammino stimato e indica la probabilità di crossover del
BSC con cui può essere schematizzata la parte inclusa nel poligono tratteggiato in rosso
del sistema di trasmissione mostrato in Fig.E 14.1.